运筹学试题及答案

1/9一、填空题：（每空格2分，共16分）1、线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种。2、在求运费最少的调度运输问题中，如果某一非基变量的检验数为4，则说明如果在该空格中增加一个运量运费将增加4。3、“如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题一定存在可行解”，这句话对还是错？错4、如果某一整数规划：MaxZ=X1+X2X1+9/14X2≤51/14-2X1+X2≤1/3X1,X2≥0且均为整数所对应的线性规划（松弛问题）的最优解为X1=3/2，X2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在要对X1进行分枝，应该分为X1≤1和X1≥2。5、在用逆向解法求动态规划时，fk(sk)的含义是：从第k个阶段到第n个阶段的最优解。6.假设某线性规划的可行解的集合为D，而其所对应的整数规划的可行解集合为B，那么D和B的关系为D包含B7.已知下表是制订生产计划问题的一张LP最优单纯形表（极大化问题，约束条件均为“≤”型不等式）其中X3,X4,X5为松驰变量。XBbX1X2X3X4X5X4300-213X14/310-1/302/3X210100-1Cj-Zj00-50-23问：（1）写出B-1=1003/20.3/1312(2)对偶问题的最优解：Y＝（5，0，23，0，0）T8.线性规划问题如果有无穷多最优解，则单纯形计算表的终表中必然有___某一个非基变量的检验数为0______；9.极大化的线性规划问题为无界解时，则对偶问题_无解_________；10.若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求，假设Xi=bi不符合整数要求，INT（bi）是不超过bi的最大整数，则构造两个约束条件：Xi≥INT（bi）＋2/91和Xi≤INT（bi），分别将其并入上述松驰问题中，形成两个分支，即两个后继问题。11.知下表是制订生产计划问题的一张LP最优单纯形表（极大化问题，约束条件均为“≤”型不等式）其中X4,X5,X6为松驰变量。XBbX1X2X3X4X5X6X12110201X32/3001104X510-20116Cj-Zj000-40-9问：(1)对偶问题的最优解：Y＝(4,0,9,0,0,0)T（2）写出B-1=611401102二、计算题（60分）1、已知线性规划（20分）MaxZ=3X1+4X2X1+X2≤52X1+4X2≤123X1+2X2≤8X1,X2≥0其最优解为：基变量X1X2X3X4X5X33/2001-1/8-1/4X25/20103/8-1/4X11100-1/41/2σj000-3/4-1/21）写出该线性规划的对偶问题。2）若C2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？3）若b2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？4）如果增加一种产品X6，其P6=(2,3,1)T，C6=4该产品是否应该投产？为什么？解：1)对偶问题为Minw=5y1+12y2+8y3y1+2y2+3y3≥3y1+4y2+2y3≥4y1,y2≥02)当C2从4变成5时，3/9σ4=-9/8σ5=-1/4由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。3）当若b2的量从12上升到15X＝9/829/81/4由于基变量的值仍然都是大于0的，所以最优解的基变量不会发生变化。4）如果增加一种新的产品，则P6’=(11/8,7/8，－1/4)Tσ6=3/80所以对最优解有影响,该种产品应该生产2、已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运方案和最小总费用。（共15分）。销地产地B1B2B3产量A159215A231711A362820销量181216解：初始解为计算检验数由于存在非基变量的检验数小于0，所以不是最优解，需调整调整为：B1B2B3产量/tA11515A21111A3181120销量/t181216B1B2B3产量/tA1513015A2－20011A300020销量/t181216B1B2B3产量/tA11515A211114/9重新计算检验数所有的检验数都大于等于0，所以得到最优解3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少？各承包商对工程的报价如表2所示：（15分）项目投标者ABCD甲15182124乙19232218丙26171619丁19212317答最优解为：X=0100100000100001总费用为504.考虑如下线性规划问题（24分）Maxz=-5x1+5x2+13x3s.t.-x1+x2+3x3≤2012x1+4x2+10x3≤90x1，x2，x3≥0回答以下问题：1）求最优解2）求对偶问题的最优解3）当b1由20变为45，最优解是否发生变化。4）求新解增加一个变量x6，c6=10，a16=3，a26=5，对最优解是否有影响5）c2有5变为6，是否影响最优解。答：最优解为A3712120销量/t181216B1B2B3产量/tA1513015A202211A300020销量/t1812165/91)Cj-551300θCBXBbX1X2X3X4X50X420-1131020/30X59012410019Cj-Zj-55130013X320/3-1/31/311/30200X570/346/322/30-10/3170/22Cj-Zj-2/32/30-13/3013X3185/33-34/33012/11-1/225X235/1123/1110-5/113/22-68/3300-1/11-1/11最优解为X1=185/33,X3=35/112)对偶问题最优解为Y＝（1/22,1/11,68/33,0,0）T3)当b1=45时X=45/11-11/90由于X2的值小于0，所以最优解将发生变化4）P6’=(3/11,-3/4)Tσ6=217/200所以对最优解有影响。5）当C2=6σ1=-137/33σ4=4/11σ5=-17/22由于σ4大于0所以对最优解有影响5.求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集)，每弧旁的数字是（cij,fij）。（15分）V1(5,0)(3,3)(3,3)VS（4,1）V2(4,0)(9,3)(8,4)V3Vt(6,0)最大流为：14V1(5,3)(3,3)(3,0)6/9V2Vs(4,4)(4,1)(9,7)(8,8)VtV3(6,6)6.考虑如下线性规划问题（20分）Maxz=3x1+x2+4x3s.t.6x1+3x2+5x3≤93x1+4x2+5x3≤8x1，x2，x3≥0回答以下问题：1）求最优解；2）直接写出上述问题的对偶问题及其最优解；3）若问题中x2列的系数变为（3，2）T，问最优解是否有变化；4）c2由1变为2，是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。Cj31400CBXBbX1X2X3X4X50X49635100X5834501Cj-Zj314000X413-101-14X38/53/54/5101/5Cj-Zj3/5-11/500-4/53X11/31-1/301/3-1/34X37/5011-1/52/5Cj-Zj0-20-1/5-3/5最优解为X1=1/3,X3=7/5,Z=33/52)对偶问题为Minw=9y1+8y26y1+3y2≥33y1+4y2≥15y1+5y2≥4y1,y2≥0对偶问题最优解为y1=1/5,y2=3/53)若问题中x2列的系数变为（3，2）T则P2’=(1/3,1/5)Tσ2=-4/5＜0所以对最优解没有影响4）c2由1变为2σ2=-1＜0所以对最优解没有影响7/97.求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集)，每弧旁的数字是（cij,fij）。（10分）V1(4,4)V3(9,5)(6,3)VS(3,1)(3,0)(4,1)Vt(5,3)(7,5)V2(5,4)V4解：V1(4,4)V3(9,7)(6,4)(3,2)(4,0)VsVt(5,4)(7,7)V2(5,5)V4最大流＝118.某厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品分别经过A、B、C三种设备加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表：ⅠⅡⅢ设备能力(台.h)ABC1111045226100600300单位产品利润(元)10641)建立线性规划模型，求获利最大的产品生产计划。(15分)2)产品Ⅲ每件的利润到多大时才值得安排生产？如产品Ⅲ每件利润增加到50/6元，求最优计划的变化。(4分)3)产品Ⅰ的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变。(2分)4)设备A的能力在什么范围内变化时，最优基变量不变。(3分)5)如有一种新产品，加工一件需设备A、B、C的台时各为1、4、3h，预期每件为8元，是否值得生产。(3分)6)如合同规定该厂至少生产10件产品Ⅲ，试确定最优计划的变化。(3分)解：1）建立线性规划模型为：MaxZ=10x1+6x2+4x3x1+x2+x3≤10010x1+4x2+5x3≤6002x1+2x2+6x3≤300xj≥0,j=1,2,3获利最大的产品生产计划为：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(100/3,200/3,0,0,0,100)’Z*=2200/32）产品Ⅲ每件利润到20/3才值得生产。如果产品Ⅲ每件利润增加到50/6元，最优计划的变化为：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(175/6,275/6,25,0,0,0)’Z*=7753）产品Ⅰ的利润在[6,15]变化时，原最优计划保持不变。8/94）设备A的能力在[60,150]变化时，最优基变量不变。5）新产品值得生产。6）最优计划的变化为：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(190/6,350/6,10,0,0,60)’Z*=706.79.给出成性规划问题：(15分)Minz=2x1+3x2+6x3x1+2x2+x3≥2-2x1+x2+3x3≤-3xj≥0j=1,…，4要求：(1)写出其对偶问题。(5分)(2)利用图解法求解对偶问题。(5分)(3)利用(2)的结果，根据对偶问题性质写出原问题最优解。(5分)解：1）该问题的LD为：MaxW=2y1-3y2y1-2y2≤22y1+y2≤3y1+3y2≤6y1≥0,y2≤02)用图解法求得LD的最优解为：Y*=(y1,y2)’=(8/5,-1/5)’W*=19/53)由互补松弛定理：原问题的最优解为：X*=(x1,x2,x3)’=(8/5,1/5,0)’10.某部门有3个生产同类产品的工厂(产地)，生产的产品由4个销售点(销地)出售，各工厂的生产量，各销售点的销售量(单位.t)以及各工厂到各销售点的单位运价(元/t)示于下表中，要求研究产品如何调运才能使总运量最小？(10分)B1B2B3B4产量A141241132A22103920A38511644销量1628282496╲96解：最优调运方案为：A1-B3和B428t和4tA2-B1和B416t和4tA3-B2和B428t和16t最小总运费为：460元11.求解下列0-1规划问题maxz=3x1+2x2-5x3-2x4+3x5x1+x2+x3+2x4+x5≤47x1+3x3-4x4+3x5≤811x1-6x2+3x4-3x5≥3xj=0或1(j=1,…，5)解：最优解为：x1=x2=1，其他为0，最优目标函数值为5销产9/9