2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第3讲 函数的奇偶性与周期性课件 理

第3讲函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知识梳理1．函数的奇偶性图像关于原点对称的函数叫作奇函数．图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．2.奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性(填“相同”、“相反”).(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是，两个奇函数的积函数是.②两个偶函数的和函数、积函数是.③一个奇函数，一个偶函数的积函数是.相同相反奇函数偶函数偶函数奇函数(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.3.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期.f(x)存在一个最小诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数.()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.()(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称.()(4)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)也是偶函数.()(5)若T为函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是函数f(x)的周期.()√√√××2.(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A.y＝x＋sin2xB.y＝x2－cosxC.y＝2x＋12xD.y＝x2＋sinx解析对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；y＝x2＋sinx既不是偶函数也不是奇函数，故选D.答案D3.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A.－13B.13C.12D.－12解析依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴a＝13，则a＋b＝13.答案B4.(2014·四川卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x＜0，x，0≤x＜1，则f32＝________.解析∵f(x)的周期为2，∴f32＝f－12，又∵当－1≤x＜0时，f(x)＝－4x2＋2，∴f32＝f－12＝－4×－122＋2＝1.答案15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x＜0时，f(x)＝________.解析当x＜0时，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)(1－x).又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，即f(x)＝x(1－x).答案x(1－x)考点一函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xlg(x＋x2＋1)；(2)f(x)＝(1－x)1＋x1－x；(3)f(x)=－x2＋2x＋1（x＞0），x2＋2x－1（x＜0）；(4)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.解(1)∵x2＋1＞|x|≥0，∴函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)lg(－x＋（－x）2＋1)＝－xlg(x2＋1－x)＝xlg(x2＋1＋x)＝f(x).即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数.(2)当且仅当1＋x1－x≥0时函数有意义，∴－1≤x＜1，由于定义域关于原点不对称，∴函数f(x)是非奇非偶函数.(3)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)，当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x).∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数.(4)∵4－x2≥0，|x＋3|≠3⇒－2≤x≤2且x≠0，∴函数的定义域关于原点对称.∴f(x)＝4－x2x＋3－3＝4－x2x，又f(－x)＝4－（－x）2－x＝－4－x2x，∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数.规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.【训练1】(1)(2015·福建卷)下列函数为奇函数的是()A.y＝xB.y＝|sinx|C.y＝cosxD.y＝ex－e－x(2)(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数解析(1)y＝x的定义域为[0，＋∞)，所以y＝x为非奇非偶函数；y＝|sinx|与y＝cosx为偶函数；令y＝f(x)＝ex－e－x，x∈R，则满足f(－x)＝－f(x)，所以y＝ex－e－x为奇函数，故选D.(2)依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错.答案(1)D(2)C考点二函数奇偶性的应用【例2】(1)(2015·山东卷)若函数f(x)＝2x＋12x－a是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为()A.(－∞，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，＋∞)(2)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()A.4B.3C.2D.1解析(1)法一f(－x)＝2－x＋12－x－a＝2x＋11－a2x，由f(－x)＝－f(x)，得2x＋11－a2x＝－2x＋12x－a，即1－a2x＝－2x＋a，化简得a(1＋2x)＝1＋2x，所以a＝1，f(x)＝2x＋12x－1，由f(x)＞3，得0＜x＜1，故选C.法二因为f(x)＝2x＋12x－a是奇函数，所以f(1)＋f(－1)＝0，即32－a＋3212－a＝0，解得a＝1，f(x)＝2x＋12x－1，由f(x)＞3，得0＜x＜1，故选C.(2)由已知得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)，则有－f（1）＋g（1）＝2，f（1）＋g（1）＝4，解得g(1)＝3.答案(1)C(2)B规律方法(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程，从而可得f(x)的值或解析式.【训练2】(1)(2016·西安模拟)已知f(x)＝x＋1x－1，f(a)＝2，则f(－a)＝()A.－4B.－2C.－1D.－3(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝________.解析(1)令g(x)＝f(x)＋1＝x＋1x，则g(x)为奇函数.又f(a)＝2，则g(a)＝3，g(－a)＝－3.∴f(－a)＝－4.(2)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.又当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝x2＋4x.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－x2－4x(x＜0)，∴f(x)＝x2－4x，x＞0，0，x＝0，－x2－4x，x＜0.答案(1)A(2)x2－4x，x＞0，0，x＝0，－x2－4x，x＜0.考点三函数的周期性及其应用【例3】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014).(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).∴f(x)是周期为4的周期函数.(2)解∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0，2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4].(3)解∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)＝f(2012)＋f(2013)＋f(2014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.规律方法(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T.(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.【训练3】(1)(2015·烟台模拟)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝x（1－x），0≤x≤1，sinπx，1＜x≤2，则f294＋f416＝________.(2)(2015·九江模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.解析(1)由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f294＋f416＝f2×4－34＋f2×4－76＝f－34＋f－76＝－f34－f76＝－316＋sinπ6＝516.(2)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)＝2.5.答案(1)516(2)2.5[思想方法]1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；(2)求解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出；(3)求解析式中的参数，利用待定系数法求解；(4)画函数图像，利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像.[易错防范]1.f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2.函数f(