1.4生活中的优化问题举例(三).ppt1

1.4生活中的优化问题举例(3)实际生活中的很多优化问题的解决都可归结为寻求一个量的最值问题,一个量的最值问题转化为数学问题通常都是求一个函数的最值问题,而函数的最值问题的解决导数是一个强有力的工具.优化问题用函数表示数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案建立数学模型解决数学模型作答利用导数解决优化问题的基本思路：例1.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。瓶子的制造成本是分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.问题(１)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(２)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？20.8r23rπ8.0rπ342.0rfy,r所以每瓶饮料的利润是由于瓶子的半径为解.0r2rπ8.0rf2'令.6r0,r3rπ8.023.0rf,6,2r;0rf,2,0r.0rf,2r'''时当时当时当.,,rf,0rf,2r;,,rf,0rf,2r,''利润越低即半径越大单调递减示它表时半径利润越高即半径越大单调递增它表示时当半径因此.,,02f,,cm2此时利润是负值瓶子成本瓶内饮料的利润还不够表示此种这时利润最小时半径为①.,cm6利润最大时半径为②?,)44.1(,:你有什么发现上观察图从函数的图象直接数工具们不用导我果如换一个角度,3,30,3,.;3,rfcmr从图象上容易看出当时即瓶子半径是时饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等当时利润才为正值?,rf,2,0r解释它的实际意义吗你能是减函数时当..,请同学们自己作出回答题的问我们很容易回答开始时通过此问题的解决ory223r3rπ8.0rf44.1图3练习1.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.hb600EDCBA分析:设法把湿周l求出来,这是关键解：由梯形面积公式，得S=21(AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=33h,BC=b∴AD=332h+b,∴S=hbhhbh)33()2332(21①∵CD=hh3230cos,AB=CD.∴l=h32×2+b②由①得b=33hSh,代入②,∴l=433333SShhhhhhb600EDCBAl′=23hS=0,∴h=43S,当h43S时，l′0,h43S时，l′0.∴h=43S时，l取最小值，此时b=S3324.训练2:A、B两村距输电线（直线）分别为1km和1.5km（如图），CD长3.km.现两村合用一台变压器供电.问变压器设在何处,输电线总长AEBE最小.分析:法一:这是一个几何最值问题,本题可用对称性技巧获得解决.法二:只要能把AE+BE代数化,问题就易解决A解设x如图，并设输电线总长为)(xL.则有222()1(3)1.5,03.LxAEEBxxx≤≤训练2:A、B两村距输电线（直线）分别为1km和1.5km（如图），CD长3.km.现两村合用一台变压器供电.问变压器设在何处,输电线总长AEBE最小.222222(3)1.5(3)1()0(3)1.51xxxxLxxx,222(3)1.5(3)1xxxx,21.25690.xx解得1.2x和6x(舍去).答：……练习：某造船公司年最高造船量是20艘.已知造船x艘的产值函数R(x)=3700x+45x2–10x3(单位：万元),成本函数为C(x)=460x+5000(单位：万元).又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为:Mf(x)=f(x+1)–f(x).求:（提示：利润=产值–成本）(1)利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(2)年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?(3)边际利润函数MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解：⑴P(x)=R(x)–C(x)=–10x3+45x2+3240x–5000MP(x)=P(x+1)–P(x)=–30x2+60x+3275(其中xN且x[1,20]).⑵∵()Px=–30x2+90x+3240=–30(x+9)(x–12)∴当1x12时,()Px0,P(x)单调递增,当12x20时,()Px0,P(x)单调递减.∴x=12时,P(x)取最大值,即年建造12艘船时,公司造船的年利润最大.⑶由MP(x)=–30(x–1)2+3305(xN且x[1,20]).∴当1x≤20时，MP(x)单调递减.MP(x)是减函数说明:随着产量的增加,每艘利润与前一台比较,利润在减少.