高考数学选填题的解题方法与技巧

数学选填题的解题方法与技巧一、题型特点近几年来，在新课标全国卷Ⅰ数学试题中选择题一直是12道题，填空题一直是4道题，所占分值为80分，约占数学试题总分数的53%.且在高考题中属于中低难度的试题，仅有个别题属于较高难度试题，在一般的情况下分别按由易到难的顺序排列，在高考数学中选择题和填空题是一种只要求得到结果，不要求写出解答过程的试题．具有概括性强、小巧灵活、知识覆盖面广，其中融入多种数学思想和方法等特点，可以有效地检验考生的数学思维层次及分析问题、判断问题、推理问题和解决问题的能力．二、解题思路做选填题的步骤为：1．首先，审题．能很好的把数学的三种语言(文字语言、图形语言、数字符号语言)之间快速转化并发掘题目中的隐含条件，要去伪存真，快速领会题目的真正含义．2．其次，要注意选填题的解题技巧．小题小做、巧做，简单做，要多用数形结合、特殊值法等技巧，节约时间．3．最后，仔细检查答卷不能有漏填的现象(遇到不会做的，也不要空着不做，一定要写一个答案)，不能有把答案抄错的现象．三、解题方法与技巧(一)直接演绎法所谓直接演绎法，就是直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果．例1(2015课标全国Ⅰ)已知点M(x0，y0)是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若MF1→·MF2→0，则y0的取值范围是()A.－33，33B.－36，36C.－223，223D.－233，233【解析】选A.由题意知a＝2，b＝1，c＝3，∴F1(－3，0)，F2(3，0)，∴MF1→＝(－3－x0，－y0)，MF2→＝(3－x0，－y0)．∵MF1→·MF2→0，∴(－3－x0)(3－x0)＋y200,即x20－3＋y200.∵点M(x0，y0)在双曲线上，∴x202－y20＝1，即x20＝2＋2y20.∴2＋2y20－3＋y200，∴－33y033.故选A.例2(2015课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为____________【解析】由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4，0)，(0，2)，(0，－2)，设圆心为(a，0)，其中a0，由4－a＝a2＋4，解得a＝32，所以该圆的标准方程为x－322＋y2＝254.【反思】直接演绎法是解选择填空题最基本的方法，涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目，充分挖掘题设条件，通过严谨的推理，正确的运算必能得出正确的答案．因此，学会熟练运用基本知识，并能迅速分析题目，抓住主干，吃透题意是用直接演绎法解题的不二法宝．(二)特例(值)法所谓特例(值)法，就是利用满足题设条件的一些特殊数值、特殊函数、特殊方程、特殊数列、特殊点、特殊角、特殊图形、特殊位置等进行求解，从而得出正确答案．例3(2014课标全国Ⅰ)设α∈0，π2，β∈0，π2，且tanα＝1＋sinβcosβ，则()A．3α－β＝π2B．2α－β＝π2C．3α＋β＝π2D．2α＋β＝π2【解析】∵β∈0，π2，取β＝π6，∴sinβ＝12，cosβ＝32，∴tanα＝1＋sinβcosβ＝3，又∵α∈0，π2，∴取α＝π3，则有2α－β＝π2.故选B.例4(2015课标全国Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．【解析】因为函数f(x)为偶函数，所以定义域关于原点对称，所以定义域为R，设h(x)＝x，g(x)＝ln(x＋a＋x2)，又h(x)为奇函数，所以g(x)也为奇函数，取x＝0，则g(0)＝0，解得a＝1.【反思】特例(值)法是高考数学解选择填空题的最佳方法，能降低解题难度，提高解题效率．当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特例(值)法(取得越简单越好)进行探究，从而清晰、快捷地得到正确答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律．(三)极限化法在一些选择填空题中，有一些任意选取或者变化的元素，我们对这些元素的变化趋势进行研究，分析它们的极限情况或者极端位置，并进行计算，以此来判断结果．这种通过动态变化，或对极端取值来解选择填空的策略是一种极限化法．例5(2015·模考)P为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右支上的一点，F1，F2分别是左、右焦点，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为()A．aB．bC.a2＋b2D．a＋b－a2＋b2【解析】如图，点P沿双曲线向右顶点无限接近时，△PF1F2的内切圆越来越小，直至“点圆”，此“点圆”应为右顶点，则内切圆圆心的横坐标为a.故选A例6(2015课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是__________．【解析】如图，作△PBC，使∠B＝∠C＝75°，BC＝2，作直线AD分别交线段PB、PC于A、D(不与端点重合)，且使∠BAD＝75°，则四边形ABCD就是符合题意的四边形．将AD在该等腰△PBC内平行移动，平移AD，当CD重合时，AB最短，此时求得AB＝6－2；当AD重合时，AB最长，此时求得AB＝6＋2，所以AB的取值范围是(6－2，6＋2)．【反思】用极限化法是解选择填空题的一种有效方法，也是在选择填空题中避免“小题大做”的有效途径．它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小做题难度，计算简便，能迅速得到答案．(四)数形结合法所谓数形结合法是把抽象的数学语言同直观的图形结合起来，通过“以形助数”、“以数辅形”，使抽象思维与形象思维相结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题．例7(2015课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，则a的取值范围是()A.－32e，1B.－32e，34C.32e，34D.32e，1【解析】选D.设g(x)＝ex(2x－1)，y＝ax－a，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线y＝ax－a的下方，因为g′(x)＝ex(2x＋1)，所以当x－12时，g′(x)0，当x－12时，g′(x)0，所以当x＝－12时，[g(x)]min＝－2e－12，作出大致图象如图所示，当x＝0时，g(0)＝－1，g(1)＝e0，直线y＝ax－a恒过(1，0)，斜率为a，故－ag(0)＝－1，且g(－1)＝－3e－1≥－a－a，解得32e≤a1.故选D.例8(2015课标全国Ⅰ)若x，y满足约束条件x－1≥0，x－y≤0，x＋y－4≤0，则yx的最大值为______．【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，在点A(1，3)处，yx取得最大值3.【反思】“数”与“形”是数学的重要基石，二者在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化，如果在解答选择填空题的过程中能够很好的运用这一数学解题中最重要的方法之一，就能够使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，进而简化解题过程，从而达到事半功倍的效果．(五)构造法所谓构造法就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式；或者利用具体问题的特殊性，为待解决的问题设置一个框架，从而使问题转化并得到解决的方法．例9(2015·课标全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x0时，xf′(x)－f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0)D．(0，1)∪(1，＋∞)【解析】选A.构造函数g(x)＝f（x）x，则g′(x)＝xf′（x）－f（x）x2，当x0时，总有xf′(x)－f(x)0，即当x0时，g′(x)恒小于0，∴当x0时，函数g(x)为减函数，又∵g(－x)＝g(x)，∴g(x)为定义域上的偶函数，又∵g(－1)＝f（－1）－1＝0，∴g(x)的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f(x)0⇔xg(x)0⇔x0g（x）0或x0g（x）0，⇔0x1或x－1.故选A.例10(2015·模考)如图，已知球O的球面上有四个点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，则球O的体积等于________．【解析】6π如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以CD＝（2）2＋（2）2＋（2）2＝2R，所以R＝62，故球O的体积V＝4πR33＝6π.【反思】构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．