数学模型实验报告

重庆交通大学学生实验报告实验课程名称数学模型学院年级专业班学生姓名学号开课时间2015至2016学年第2学期假设合理优良中差建模求解全面优良中差结果分析完善优良中差文档清晰优良中差综合成绩教师姓名韩逢庆数学模型实验报告格式要求论文题目（三号黑体，居中）一级标题（四号黑体，居中）论文中其他汉字一律采用五号宋体，单倍行距。论文用A4，上下左右各留出2.5厘米的页边距。首页为封面，第二页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字“1”开始连续编号。第二页开始论文的题目、摘要和正文正文应包括以下八个部分：摘要：是对论文内容的高度概括，一般可围绕如下几个问题来写：针对什么样的问题？采用什么数学方法建立了怎么样的数学模型？如何求解模型的？结果是什么、怎么样？问题提出：叙述问题内容及意义；基本假设与符号说明：假设要合理，一般来源于两个方面：一是问题中有的假定，二是在建模过程中需要添加的条件；符号说明主要是对全文的符号集中在此进行说明；问题分析：对问题背景进行分析，给出问题解决的基本思路、步骤和方法。模型的建立与求解：根据问题分析，叙述建模的推导过程，给出具体的数学模型，对模型的求解需给出求解方法和结果，并对结果进行分析；结果分析与检验：（含误差分析）；模型评价：优缺点及改进意见；参考文献：限公开发表文献，指明出处；参考文献在正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等，引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号]作者，书名，出版地：出版社，出版年参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：[编号]作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年参考文献中网上资源的表述方式为：[编号]作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）附录：计算框图，原程序及打印结果。雨中行走问题摘要当我们在雨中冒雨行走时总会下意思的加快速度，似乎跑得越快淋雨量就会越小。但事实上会是这种情况吗？在这里，我们将给予综合性的考虑，来解释不同情况下的淋雨量。在不考虑风向的情况下，若人的全身都受到雨淋，理所当然人跑的越快所淋的雨就会越少。那么模型也可算出淋雨量。当雨线从正面和人的跑步方向在同一平面时，并且考虑风向的影响，雨线方向和竖直方向成角。因为迎着雨的方向跑，所以全身都会淋到雨，由于有夹角，可以将雨分成竖直方向和水平方向两部分。便可根据题的要求解出模型。当雨线从后面和人的跑步方向在同一平面时，并且考虑风向的影响，雨线方向和竖直方向成角。因为背着雨的方向跑，所以全身不一定都会淋到雨。可分几种情况分别来说。关键词人速；雨速；风向；夹角1.问题的重述当人们在雨中行走时，是不是走的越快就会淋越少的雨呢？对于这个问题，建立合理的数学模型。讨论一下，在不考虑风向时，人的淋雨量为多少；进而进一步讨论一下，在考虑雨线方向与人的跑步方向在同一平面内成不同角度时的淋雨量。2.问题的分析当人在雨中行走时，是否跑的越快所淋的雨量就越少那，答案当然不是。人在雨中所淋到的雨量和风向有关，因为风向的不同会导致雨线和人成不同的角度。从而使人所淋到的雨量有所不同。3.模型的假设与符号说明3.1模型的假设（1）把人体视为长方体，身高h米，身宽w米，身厚d米，淋雨总量C升。（2）把降雨强度视为常量，记为：I（cmh）。（3）风速保持不变。（4）以定速度()vms跑完全程D。3.2符号说明h人体的身高（m）w人体的宽度(m)d人体的厚度(m)D人跑步的全程(m)v人跑步的速度(m/s)i降雨强度(cm/h)c人在跑步中的淋雨总量(L)s人在雨中会被雨淋的面积(㎡)t人在雨中跑步的时间(s)v雨滴下落速度(m/s)雨滴反方向与人速度方向的夹角雨滴密度4.模型的建立与求解（1）不考虑雨的方向，此种情况，人的前后左右都会淋雨。淋雨面积：22Swhdhwd（2m）行走世间：()Dtsv降雨强度：5()0.01()()3.6*10IIcmhImhms淋雨量：35()()3603.6*10IStDISCLvm结论：在此种情况下，跑步全程长度、降雨强度、淋雨面积都是定参数，只有跑步速度是变量。可知，淋雨量与速度成反比。验证了快跑能减少淋雨量。但我们也可以发现，当我们取参数1000Dm，2Icmh，0.5wm，1.8hm，0.2dm，6vms时，可求得：22.62Sm，2.6CL。也就是说在不到三分钟时间内淋雨量就很大了，不太符合实际情况。结论：用这种模型来描述淋雨量问题不符合实际，原因是模型太简单，没有考虑降雨方向，使得模型太粗超。（2）考虑降雨方向，可知，Ir此种情况，淋雨的部位只有头顶和前面。头顶的淋雨量：1sinDwdrvC前面淋雨量：2((cos)DwhrvvC淋雨总量：12(sin(cos)wDdrhrvCvCC取参数64,3600*2,1.39*10rmsIcms计算上式得：46.95*(0.8sin6cos1.5)10vCv可以看出：淋雨量与降雨的方向和跑步的速度有关。这样我们就可以把问题转化成给定角度求淋雨量最小的问题。12时44336.95*(1.5()10Cv结论：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量最小。若速度为6ms。则计算可得：1.13CL23时44336.95*(1.5)10Cv结论：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量最小。若速度为6ms。则计算可得：1.47CL32时雨滴将从身后落下。40.8sin6cos6.95*[()1.5]10Cv令2，则02。计算得：40.8cos6sin6.95*(1.5)10Cv此种情况中，淋雨量有可能为负值，这是不可能的，产生的原因是我们认为雨是从前面落到身上的。这种情况另行讨论。当跑的速度小于雨滴的水平运动速度，即sinvr时，雨滴将会从后面淋在身上。可计算得：(cos(sin)DwdrhrvCv当sinv时，C取最小值。cossinDwdrCr代入数据得4cos6.95*5sin10C结论：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿。若雨滴是以23的角度落下，即雨滴以6的角从背后落下，应该以4sin26vms的速度行走，此时，淋雨量为：0.24CL这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。当行走速度快与雨滴的水平运动速度，即sinvr你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是：cossin()drhCDwrvr当cossin0,drv尽可能大，C才会最小。当cossin0,drv尽可能小，C才会最小。当sin,vrv接近sinr，C才可能最小。现取6vms，6时，0.77CL5.模型的评价经过解题可知：对于问题一的模型，由于不考虑风向所带来的影响，求得的结果是非常大的。不符合现实中的实际情况。对于问题二的模型，在考虑风向所带来的影响时，求得的结果迅速减小。并且想淋到最少的雨，就应该尽量跑得快些，因为淋雨量和人跑的速度为减函数关系。对于问题三的模型，当雨从后面下来时，人淋雨量的多少和雨的水平分量有关。随着人跑步速度的改变淋雨量将发生不同的变化。模型的优点：（1）模型可以准确的根据已知数据求解出淋浴量的多少。（2）模型简单明了，易于理解。模型的缺点：（1）由于假设雨速和人跑步的速度一直不变，可能造成一些误差。参考文献【1】姜启源、谢金星、叶俊数学模型（第三版）高等教育出版社【2】姜启源、谢金星、叶俊数学模型习题参考答案高等教育出版社钢管下料问题摘要生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成规定大小的某种,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.下面我们采用数学规划模型建立线性规划模型并借助LINGO9.0来解决这类问题.关键词线性规划最优解钢管下料一，问题重述1、问题的提出某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm，现在一顾客需要15根290mm，28根315mm，21根350mm和30根455mm的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm，为了使总费用最小，应该如何下料？2、问题的分析首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少.二，基本假设与符号说明1、基本假设假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行.2、定义符号说明（1）设每根钢管的价格为a，为简化问题先不进行对a的计算.（2）四种不同的切割模式：1x、2x、3x、4x.（3）其对应的钢管数量分别为：ir1、ir2、ir3、ir4（非负整数）.三、模型的建立由于不同的模式不能超过四种，可以用ix表示i按照第种模式（i=1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i种切割模式下每根原料钢管生产290mm，315mm,,350mm和455mm的钢管数量分别为ir1，ir2，ir3，ir4（非负整数）.决策目标切割钢管总费用最小，目标为：Min=（1x1.1+2x1.2+3x1.3+4x1.4）a(1)为简化问题先不带入a约束条件为满足客户需求应有11r1x+12r2x+13r3x+14r4x≧15(2)21r1x+22r2x+23r3x+24r4x≧28(3)31r1x+32r2x+33r3x+34r4x≧21(4)41r1x+42r2x+43r3x+44r4x≧15(5)每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm也不能小于1750mm.于是：1750≦29011r+31521r+35031r+45541r≦1850（6）1750≦29012r+31522r+35032r+45542r≦1850（7）1750≦29013r+31523r+35033r+45543r≦1850（8）1750≦29014r+31524r+35034r+45544r≦1850（9）由于排列顺序无关紧要因此有1x≧2x≧3x≧4x(10)又由于总根数不能少于（15290+28315+21350+30455）/1850≧18.47(11)也不能大于（15290+28315+21350+30455）/1750≦19.525(12)由于一根原钢管最多生产5根产品，所以有ir1+ir2+ir3+ir4≦5(13)四、模型的求解将（1）~（13）构建的模型输入Lingo11.0经计算绘制成表格如下：切割模式290mm315mm350mm455mm余料mm1x0221652x3002703x0131304x000430即取1x切割模式14根及2x切割模式5根，即可得到最优解：Min=（1411/10+512/10）a=21.4a五、结果分析、模型的评价与改进下料问题的建模主要有两部分组成，一是确定下料模式，二是构造优化模型.对于下料规格不太多时，可以采用枚举出下料模式，对规格太多的，则适用于本模型.而从本模型中可以看出尽管切割模式x3、x4的余料最少，但是其成本比较高因而舍弃.六、参考文献【1】姜启源，谢金星，叶俊,数学模型(第三版)，清华大学出版社，第121页.