2018版高中数学人教A必修4课件：3.1.3-二倍角的正弦、余弦、正切公式

-1-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式-2-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.灵活应用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决有关的求值、化简、证明等问题.-3-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表三角函数公式简记正弦sin2α=2sinαcosαS2α余弦cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αC2α正切tan2α=2𝑡𝑎𝑛α1-𝑡𝑎𝑛2𝛼T2α归纳总结对倍角公式的理解:倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式,而且其他如4α是2α的二倍、α是𝛼2的二倍、3α是3𝛼2的二倍等也都是适用的.-4-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做1】已知sinα=35,cos𝛼=45,则sin2𝛼等于()A.75B.125C.1225D.2425解析:sin2α=2sinαcosα=2425.答案:D【做一做2】已知cosα=13,则cos2𝛼等于()A.13B.23C.−79D.79解析:cos2α=2cos2α-1=29−1=−79.答案:C-5-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做3】已知tanα=3,则tan2α等于()A.6B.−34C.−38D.98解析:tan2α=2tan𝛼1-tan2𝛼=2×31-32=−34.答案:B-6-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航倍角公式的变形公式剖析:(1)公式的逆用:2sinαcosα=sin2α;sinαcosα=12sin2α;cosα=sin2𝛼2sin𝛼;cos2α-sin2α=cos2α;2tan𝛼1-tan2𝛼=tan2α.-7-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航(2)公式的有关变形:1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2;1+cos2α=2cos2α;1-cos2α=2sin2α.(3)升幂和降幂公式:升幂公式:1+sinα=sin𝛼2+cos𝛼22;1-sinα=sin𝛼2-cos𝛼22;1+cosα=2cos2𝛼2;1−cosα=2sin2𝛼2.降幂公式:cos2α=1+cos2𝛼2;sin2𝛼=1-cos2𝛼2.-8-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一利用二倍角公式求值【例1】求下列各式的值:(1)cosπ5cos2π5;(2)12−cos2π8;(3)tanπ12−1tanπ12.分析:第(1)题可根据2π5是π5的2倍构造二倍角的公式求值;第(2)(3)题需将所求的式子变形,逆用二倍角公式化简求值.-9-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:(1)原式=2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5=sin2π5cos2π52sinπ5=sin4π54sinπ5=sinπ54sinπ5=14.(2)原式=1-2cos2π82=−2cos2π8-12=−12cosπ4=−24.(3)原式=tan2π12-1tanπ12=−2×1-tan2π122tanπ12=-2×1tanπ6=-233=-23.-10-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思解决此类题目时,应善于观察三角函数式的特点,变形后正用或逆用公式来解决.本题中,若要求出cosπ5,cos2π5,cosπ8,tanπ12的值,则会使问题复杂化.-11-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】求下列各式的值:(1)sinπ12cosπ12;(2)1-2sin2750°;(3)1sin10°−3cos10°.解:(1)原式=2sinπ12cosπ122=sinπ62=14.(2)原式=cos(2×750°)=cos1500°=cos(4×360°+60°)=cos60°=12.(3)原式=cos10°-3sin10°sin10°cos10°=212cos10°-32sin10°sin10°cos10°=4(sin30°cos10°-cos30°sin10°)2sin10°cos10°=4sin20°sin20°=4.-12-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型二知值求值【例2】已知sinπ4-𝑥=513,0𝑥π4,求cos2𝑥cosπ4+𝑥的值.分析:注意角的关系π4+𝑥+π4-𝑥=π2,注意诱导公式的应用cos2x=sinπ2+2𝑥,利用倍角公式解题.-13-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:原式=sinπ2+2𝑥cosπ4+𝑥=2sinπ4+𝑥cosπ4+𝑥cosπ4+𝑥=2sinπ4+𝑥.∵sinπ4-𝑥=cosπ4+𝑥=513,且0xπ4,∴π4+𝑥∈π4,π2,sinπ4+𝑥=1-cos2π4+𝑥=1213,∴原式=2×1213=2413.-14-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思已知某角的三角函数值求值,要认真观察已知角与所求角有没有特殊关系:和或差是特殊角或二倍角等,用诱导公式变形后,利用有关公式求值.-15-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练2】(1)已知sin𝛼-π6=35,且𝛼是锐角,则sin2𝛼-π3=__________,cos2𝛼-π3=__________,tan2𝛼-π3=__________;(2)若sinπ4+𝜃=350𝜃π4,则cos2𝜃=__________.-16-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式点击下面头像进入作者主页下载本学期其它章节课件ppt步骤2.点击作者头像步骤1.鼠标翻到文库搜索框-17-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解析:(1)由题意知cos𝛼-π6=45,∴sin2𝛼-π3=2sin𝛼-π6cos𝛼-π6=2425,cos2𝛼-π3=725,tan2𝛼-π3=247.(2)∵sinπ4+𝜃=35,0𝜃π4,∴cosπ4+𝜃=45.∴cos2θ=sinπ2+2𝜃=sin2π4+𝜃=2sinπ4+𝜃cosπ4+𝜃=2×35×45=2425.答案:(1)2425725247(2)2425-18-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课外小学堂：什么是超级传得的播者？超级传得的播者具有以下特点：1.少数病例传染性较强,称为超级传得的播者2.,与其他患者相比,超级传得的播者具有:高龄、体质弱、存在其他基础疾病。-19-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式点击网页页面右边个人头像进入店铺主页关注可下载其他肺得的炎周边ppt课件在这里可以看到关注店铺，关注即可-20-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型三化简与证明【例3】化简:(1)cos10°(1+3tan10°)cos70°1+cos40°;(2)2cos2𝛼-12tanπ4-𝛼sin2π4+𝛼.分析:先把切化弦,再结合三角函数公式求解.-21-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:(1)原式=cos10°1+3sin10°cos10°2sin20°cos20°=cos10°+3sin10°22sin40°=212cos10°+32sin10°22sin40°=22sin40°sin40°=22.(2)原式=2cos2𝛼-12sinπ4-𝛼cosπ4-𝛼·cos2π4-𝛼=2cos2𝛼-12sinπ4-𝛼·cosπ4-𝛼=2cos2𝛼-1cos2𝛼=cos2𝛼cos2𝛼=1.-22-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思化简三角函数式与证明三角等式的实质是一样的,那就是化繁为简,在解答这类问题时可从三个方面考虑:一是角,二是函数名,三是结构式,从而消除差异,达到化简的目的.-23-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练3】(1)化简2sin2𝛼cos2𝛼(1+cos2𝛼)cos𝛼=.(2)求证:tan𝛼2=sin𝛼1+cos𝛼=1-cos𝛼sin𝛼.(1)解析:原式=2sin2𝛼cos2𝛼2cos3𝛼=sin2𝛼cos𝛼=2sinα.答案:2sinα(2)证明:∵sin𝛼1+cos𝛼=2sin𝛼2cos𝛼21+2cos2𝛼2-1=2sin𝛼2cos𝛼22cos2𝛼2=tan𝛼2,1-cos𝛼sin𝛼=1-1-2sin2𝛼22sin𝛼2cos𝛼2=2sin2𝛼22sin𝛼2cos𝛼2=tan𝛼2,∴tan𝛼2=sin𝛼1+cos𝛼=1-cos𝛼sin𝛼.-24-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJI