泛函分析基础-刘培德-科学出版社

2012泛函分析复习资料1课后习题1解答：当0p时，(,)pdxyxy不满足正定性，R在d下不是度量空间，当1p时，(,)pdxyxy满足正定性，对称性，不满足三角不等式，故R在d下不是度量空间，当01p时，(,)pdxyxy满足正定性，对称性和三角不等式，故R在d下是度量空间，若令(,)xydxy，仅当1p时，满足范数的正定性，正齐次性和三角不等式，故此时R在下是赋范空间。2证明：Part1：(,)Xd是度量空间，,,(,)min((,),1)0xyXdxydxy且(,)0dxy当且仅当(,)0dxy，当且仅当xy，d满足正定性；,,(,)min((,),1)min((,),1)(,)xyXdxydxydyxdyx，d满足对称性；,,,(,)min((,),1)min((,)(,),1)min((,),1)min((,),1)(,)(,)xyzXdxydxydxzdzydxzdzydxzdzyd满足三角不等式，综上(,)Xd是度量空间。Part2：由(,)Xd是度量空间，(,),,(,)0(,)1dxyxyXdxydxy且(,)0dxy当且仅当(,)0dxy，当且仅当xy，d满足正定性；(,)(,),,(,)(,)(,)1(,)1dxydyxxyXdxydyxdxydyx，d满足对称性；(,)(,)(,)(,)(,),,,(,)(,)(,)1(,)(,)1(,)1(,)1(,)(,)dxydxzdzydxzdzyxyzXdxydxydxydxzdzydxzdzydxzdzyd满足三角不等式，综上(,)Xd是度量空间。4证明：设12(,,,)nnxxxx，12(,,,)nnkkkkxxxx，k先证必要性，即当kx收敛于x时，kx依坐标收敛于x。设kx在n中收敛于x，即(,)0,whenkdxxk2012泛函分析复习资料2由21(,)()niikkidxxxx，故对1,2,.in，(,)iikkxxdxx，0,wheniikxxk，即kx依坐标收敛于x；充分性，设kx依坐标收敛于x，即任意1,2,.in，0,wheniikxxk211(,)()maxniiiikkkinidxxxxnxx，(,)0,whenkdxxk，kx收敛于x综上所述，kx在n中收敛于x等价于kx依坐标收敛于x。5(1)证明：设:E是线性空间X中任意的凸集族，则任取,xyE，及01r，则,,xE由E是凸集，(1)rxryE，(1)rxryE，E是凸集，即任意多个凸集之交是凸集。(2)证明：任取,xykE，及01r，则,xyEkk，由于E是凸集，(1)xyrrEkk(1)rxrykE，故kE也是凸集。(3)设E是凸集，任取0,xyxE及01r，由于00,xxEyxE，E是凸集，00(1)()rxxryxE，即0(1)rxryxE，0(1)rxryxE，故凸集E经平移0x后得到的集合0xE也是凸集。(4)仅证E，oE暂不证明。任取,xyEEE，及01r，若,xyE，由E是凸集，(1)rxryEE若,xyE，则存在,,,nnnnxyExxyy，由E是凸集，(1)nnrxryE由(1)(1),(1)nnrxryrxryrxryEE若,xEyE,则存在,nnyEyy，由E是凸集，(1)nrxryE由(1)(1),(1)nrxryrxryrxryEE综上当E是凸集时，E也是凸集。2012泛函分析复习资料3(5)R在一般度量下，两凸子集(0,1)和(1,2)的并集(0,1)(1,2)不是R的凸集。6(1)证明：任取12,()yyTA则存在121122,,,xxATxyTxy由T是线性映射，121212(1)(1)(1)TrxrxrTxrTxryry对任意01r，由A是凸集，12(1)rxrxA，1212(1)(1)()ryryTrxrxTA，()TA是凸集。(2)证明：任取112,()xxTB则存在121122,,,yyBTxyTxy由T是线性映射，121212(1)(1)(1)TrxrxrTxrTxryry对任意01r，由B是凸集，12(1)ryryB，112(1)()rxrxTB，1()TB是凸集。(3)由P29线性算子T是一一的当且仅当0NT，故只需证0NT当且仅当对X中每个线性无关集E，()TE是Y中的线性无关集。必要性：由0NT，及X的某个线性无关集E，假如()TE不是Y中的线性无关集，则存在E中的线性无关序列nx，)(nxT线性相关，即存在不全为零的n，0nnnTx，由T是线性算子，0nnnnnnTxxT，因0NT，0nnnx，这与nx是线性无关序列矛盾，故假设不成立；充分性，假若}0{)(TN，则存在0),(,0111TxTNxx，此时1x是X中线性无关集，}0{1Tx是X中线性相关集，这与X中每个线性无关集的像是Y中线性无关集矛盾，故假设不成立，得证。7(1)证明：左)()(BBAABA，右)()(BABA任取z左，ByAxyxz,,，则有以下几种情况若ByAx,，则BAyxz右；若ByAx,，则A中存在nx收敛于x，B中存在ny收敛于y，故BAyxnn，2012泛函分析复习资料4且nnyx收敛于yx，故)(BAyxz右；若ByAx,，则A中存在nx收敛于x，故BAyxn，且yxn收敛于yx，故)(BAyxz右；若ByAx,，证法同上，易得)(BAyxz右综上，左右得证。(2)○1Ax0是开集A是开集证明：)任取Ax，则Axxx00，由于Ax0是开集，故存在AxrxxOr00),(,0，故ArxO),(，即A也是开集)任取Axxx00，则Ax，由于A是开集，故存在ArxOr),(,0，故AxrxxO00),(，即Ax0是开集，得证。或证：Ax0是开集任取Axxx00，存在AxrxxOr00),(,0任取Ax，存在ArxOr),(,0A是开集○2Ax0是闭集A是闭集证明：Ax0是闭集任取点列Axxxn00，且xxxxn00，则Axx0任取点列Axn，且xxn，则AxA是闭集(3)证明：不妨设A是开集，由(2)知AyBy,也是开集，)(AyABBABy由于任意开集的并集仍然是开集，故BA是开集。(4)证明：,,ooAxA由,0,(,)oxArOxrA由{|,}AAxyxAyA，(0,)(,){}{}OrOxrxAxAA0()oAA，得证。8(1)证明：任一集合A，若A，由空集既开且闭，故A是开集若A，则有,1,(,){}xArOxrxA，A是开集由上知任一集合是开集，故A的补集是开集，由A的补集是开集知A是闭集综上，任一集合A既是开集也是闭集。(2)若,nnxXxx，则0,,N当nN时，(,)ndxx2012泛函分析复习资料5故对001,,n当0nn时，(,)1ndxx由0(,)1nnnxxdxxxx，故(,)0,nndxxxx13证明：由内积空间中具有平行四边形公式22222,,xyxyxyxy故1/22222nnnnnnxyxyxy再由1,2nnnnxyxy，故1/2240nnnnxyxy18○1完备度量空间的每个闭子空间是完备子空间。证明：设X是一个完备度量空间，E是它的任一闭子空间。任取E的一个Cauchy列kx，由EX，kx也是X的Cauchy列，由X完备，故,kxXxx由E是闭集，故xE，E完备。○2度量空间的每个完备子空间是闭子空间。证明：设X是一个度量空间，E是它的任一完备子空间，往证E是闭集。任取E的一个点列kx，且kxx由于E完备，故xE，E是闭集。19证明：不妨设nx是X的可数无穷Hamel基，令nnnxex，则ne是X的单位可数无穷Hamel基，令112nnkkkye，则ny是X的Cauchy列(显然易证)，112nkkkyyeX(由Hamel基的定义)，故X不完备。20证明：A是有界集，0,,MxAxM1,0()nnnnmaam0()nnnnnnmnmnmaxaxMam1nnnax是收敛级数。21(1)X具有Baire性质(2)X中可数多个无处稠密闭集之并其内点是空集2012泛函分析复习资料6(3)X中每个非空开集是第二纲的(4)X中每个第一纲集合的余集在X中稠密注：E在X中稠密若EXE在X中无处稠密指若oEE是第一纲集指E可以写成至多可数多个无处稠密集的并。X具有Baire性质指若X中可数多个稠密开集之交仍在X中稠密。命题：无处稠密闭集的补集是稠密开集。稠密开集的补集是无处稠密闭集。证明：开集和闭集互为补集是显然的。A是X中的无处稠密闭集ccocccAAoAAAAAXAAAAAAAccoo,,,cA是X中的稠密开集证明：(1)(2)：设{}nB是X中可数个无处稠密闭集族，则{}cnB是X中可数个稠密开集族，11()ccnnnnBB由(1)知它是可数个稠密开集之交，由Baire性质它在X中稠密，ccnncnnBXB)(,)(11，即onnB)(1。)3()2(反证法，假设X中存在一个非空开集A不是第二纲集，是第一纲集，则存在X中至多可数稠密集nnnAAA,，nA无处稠密即onA，显然nA是X的无处稠密闭集，由(2)知，onnA)(，onnonnoAAA)()(而由A是非空开集知ooAA，这与前面的结论矛盾，故假设不成立。)4()3(设A是X的任一第一纲集，则由(3)XAAAAcccoo,,即A的补集在X中稠密。)1()4(设}{nA是X的可数个稠密开集，则concocnnnAAAXA,,nA是开集，它的补集是闭集，ocncncnAAA,，即cnA是X的无处稠密集，cnnA1是X的第一纲集，由(4)知它的余集在X中稠密，即ccnnnnAA)(11在X中稠密。证毕。24证明：已知YXT:连续Y中任一闭(开)集的原像是X中的闭(开)集。故只需证Y中任一闭集的原像是X中的闭集每个)()(,ATATXA必要性：))(,ATXA是Y中的闭集，故其原像))((1ATT是X中的闭集，2012泛函分析复习资料7AATTA),)((1是包含A的最小闭集，故),)((1ATTA)()(ATAT充分行：)设B是Y中的任一闭集，令),(1BTA则BATBAT)(,)(，由右知)()(ATAT，ABTABAT