乘法公式活用专题训练(整理)

乘法公式的活用一、公式:(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，xyyxx2y2②符号变化，xyxyx2y2x2y2③指数变化，x2y2x2y2x4y4④系数变化，2ab2ab4a2b2⑤换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2⑦连用公式变化，xyxyx2y2x2y2x2y2x4y4⑧逆用公式变化，xyz2xyz2xyzxyzxyzxyz2x2y2z4xy4xz例1．已知2ba，1ab，求22ba的值。例2．已知8ba，2ab，求2)(ba的值。例3：计算19992-2000×1998例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？例7．运用公式简便计算（1）1032（2）1982例8．计算（1）a4b3ca4b3c（2）3xy23xy2例9．解下列各式（1）已知a2b213，ab6，求ab2，ab2的值。（2）已知ab27，ab24，求a2b2，ab的值。（3）已知aa1a2b2，求222abab的值。（4）已知13xx，求441xx的值。例10．计算（1）x2x12（2）3mnp2二、乘法公式的用法(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。例1.计算：53532222xyxy解：原式53259222244xyxy(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。例2.计算：111124aaaa例3.计算：32513251xyzxyz三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。例4.计算：57857822abcabc四、变用:题目变形后运用公式解题。例5.计算：xyzxyz26五、活用:把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：12223244222222222222....abababababababababababab灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。例6.已知abab45，，求ab22的值。例7.计算：abcdbcda22例8.已知实数x、y、z满足xyzxyy592，，那么求xyz23的值三、学习乘法公式应注意的问题（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中“两数”．例1计算(-2x2-5)(2x2-5)例2计算(-a2+4b)2（二）、注意为使用公式创造条件例3计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．例4计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2例5计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．例6计算(2x+y-3)2（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例7(1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；(2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．例8计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)2+(b-a+c)2．（五）、注意乘法公式的逆运用例9计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2．例10计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2四、怎样熟练运用公式：（一）、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．（二）、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x+2y－3z）2，若视x+2y为公式中的a，3z为b，则就可用（a－b）2=a2－2ab+b2来解了。（三）、熟悉常见的几种变化有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．常见的几种变化是：（四）、注意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a2+1）2·（a2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1．对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－221）（1－231）（1－241）…（1－291）（1－2101），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题．即原式=（1－21）（1+21）（1－31）（1+31）×…×（1－101）（1+101）=21×23×32×34×…×109×1011=21×1011=2011．有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab等．用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．如已知m+n=7，mn=－18，求m2+n2，m2－mn+n2的值．面对这样的问题就可用上述变式来解，即m2+n2=（m+n）2－2mn=72－2×（－18）=49+36=85，m2－mn+n2=（m+n）2－3mn=72－3×（－18）=103．1、若a+a1=5，求（1）a2+21a，（2）（a－a1）2的值．2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字．五、乘法公式应用的五个层次乘法公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2，(a±b)=a2±2ab＋b2，(a±b)(a2±ab＋b2)=a3±b3．第一层次──正用即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用．例1计算(2)(－2x－y)(2x－y)．第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用．例2计算(1)19982－1998·3994＋19972；第三层次──活用：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．例3化简：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．例4计算：(2x－3y－1)(－2x－3y＋5)第四层次──变用：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2＋b2=(a＋b)2－2ab，a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)等，则求解十分简单、明快．例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2和a3＋b3值．第五层次──综合后用：将(a＋b)2=a2＋2ab＋b2和(a－b)2=a2－2ab＋b2综合，可得(a＋b)2＋(a－b)2=2(a2＋b2)；(a＋b)2－(a－b)2=4ab；等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷．例6计算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)．六、正确认识和使用乘法公式1、数形结合的数学思想认识乘法公式：对于学习的两种（三个）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。假设a、b都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。如图1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为(a+b)(a-b)，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2。2、乘法公式的使用技巧：①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。例1、运用乘法公式计算：（1）(-1+3x)(-1-3x)；（2）(-2m-1)2②改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显.例2、运用乘法公式计算：（1）(13a-14b)(-14b-a3);（2）(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)③逆用公式将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2=(a+b)(a-b)，逆用积的乘方公式，得anbn=(ab)n,等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。例3、计算：（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2;（2）(a-1/2)2(a2+1/4)2(a+1/2)2④合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。计算：（1）(x+y+1)(1-x-y);（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中数学的重要内容，是今后学习的基础，应用极为广泛。尤其多项式乘多项式，运算过程复杂，在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的结构特征，将其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运算就显得简便易行。一.先分组，再用公式例1.计算：()()abcdabcd二.先提公因式，再用公式例2.计算：8244xyxy三.先分项，再用公式例3.计算：232236xyxy四.先整体展开，再用公式例4.计算：()()abab221五.先补项，再用公式例5.计算：331313131842()()()()六.先用公式，再展开例6.计算：11211311411102222…七.乘法公式交替用例7.计算：()()()()xzxxzzxzxxzz222222八、中考与乘法公式1.结论开放例1.（济南中考）请你观察图中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是______________。例2.（陕西中考）如图，在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（ab），把余下的部分剪成一个矩形，如图3，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是______________。2.条件开放例3