分数阶微积分及分数阶方程初步研究

分数阶微积分及分数阶方程初步研究[摘要]分数阶微积分及分数阶方程是当今国内外研究的最热的研究课题，理论及相关问题的研究还处在初级阶段。本文旨在通过引入分数阶导数及其相关问题，初步介绍和研究了分数阶微积分的若干性质。本文分别给出分数阶导数常见的四种定义：Grünwald-Letnikov分数阶导数定义、Riemann-Liouville分数阶导数定义、Caputo分数阶导数定义、Weyl分数阶导数定义，讨论了其联系与区别。在整数阶微积分的基础上进一步延伸了Riemann-Liouville分数阶导数定义下分数阶的运算法则、基本性质。最后简要介绍了线性分数阶微分方程初值问题解的唯一存在性。[关键词]分数阶导数；分数阶方程；Grünwald-Letniko分数阶导数；Riemann-Liouville分数阶导数；Caputo分数阶导数.Preliminarystudiesoffractionalcalculusandfractionalequation[Abstract]FractionalCalculusandFractionalequationsarethehottestresearchtopicintoday'sdomesticandinternationalresearch,theoreticalandrelatedissuesisstillinitsinfancy.Thispaperaimstointroducefractionalderivativesandrelatedissues,initialpresentationandstudysomepropertiesoffractionalcalculus.Thisarticlegivesfourcommondefinitionofthefractionalderivatives:GrunwaldLetnikovfractionalderivative,RiemannLiouvillefractionalderivative,Caputofractionalderivative,Weylfractionalderivativeandtherelationanddistinctionbetweenthem.Onthebasisoftheinteger-ordercalculus,furtherextendthefractionalalgorithmsandbasicnatureunderthedefinitionoftheRiemann-Liouvillefractionalderivative.Finally,brieflyintroducedtheexistenceanduniquenessofthesolutionsoflinearfractionaldifferentialequations.[Keywords]Fractionalderivative;Fractionalequations;Grünwald-Letnikovfractionalderivative;Riemann-Liouvillefractionalderivative;Caputofractionalderivative.目录1引言....................................................................11.1分数阶导数的研究背景、意义.........................................21.2分数阶微积分理论的研究现状.......................................21.3本文的组织结构....................................................32分数阶微积分的基本概念..................................................32.1Grünwald-Letnikov分数阶导数定义...................................32.2Riemann-Liouville分数阶导数定义...................................42.3Caputo分数阶导数定义..............................................62.4Weyl分数阶导数定义................................................62.5三种分数阶导数的关系及其与整数阶导数的区别.........................82.5.1Riemann-Liouville定义与Grünwald-Letnikov定义的比较..........82.5.2Grünwald-Letnikov定义和Caputo定义的比较....................102.5.3Riemann-Liouville定义和Caputo定义的比较....................112.5.4分数阶导数和整数阶导数的比较.................................123分数阶导数的运算法则...................................................133.1分数阶导数在Riemann-Liouville定义下的运算法则....................133.2分数阶导数在其他定义下运算法则探讨................................164分数阶导数和积分的基本性质.............................................174.1分数阶微积分的性质................................................174.2分数阶导数、积分的奇偶性及周期性.................................175分数阶方程的初步研究...................................................195.1序列分数阶导数...................................................195.2线性分数阶微分方程................................................20结论.....................................................................24致谢语...................................................................24[参考文献]...............................................................171.引言1.1分数阶导数研究背景、意义整数阶导数以及积分的概念是大家所熟知的。导数nndydx描述了y变量关于x的变化程度，有着深刻的物理背景。但现在的问题是：怎样将n推广到一般的分数，甚至是复数？因为相比较于整数阶导数以及积分，分数阶微积分可以更简洁准确地描述具体具有历史记忆和空间全域相关性等复杂力学和物理过程这个问题可以追溯到1695年，Leibniz就与L’Hospital在信中讨论到12阶导数的问题,但当时并没有给出计算结果．直到1812年，Laplace利用积分给出了一个分数阶导数的定义。当myx时，利用Gamma函数，Lacroxi得到11,,1nmnnmdyxmndxmn并由此给出了当1,2yxn时的分数阶导数:12122dxxdx，这和现在的Riemann-Liouville分数阶导数给出的结论是一致的。稍后，Fourier通过现在我们所谓的傅里叶变换给出了分数阶导数的定义，注意到函数()fx可以表示为双重积分1()cos2fxfyxyddy注意到1coscos,2nnndxyxyndx并将n替换为一般的v，通过积分号下求导数的方法，则可以将整数阶导数推广到分数阶：11()cos,22vvvdfxfyxyvddydx考虑Abel积分方程120,xkxtftdt其右端是定义了分数阶（1/2）积分的定积分，f待定。Abel在研究上述积分方程时将右端写为1212()dfxdx，从而有1212().dkfxdx此式也表明，一般情况下常数的分数阶导数不再是零，与常数整数阶导数为零是有区别的。由于受到Fourier和Abel的启发，Riemann、Liouville等著名数学家于19世纪30年代开始系统地研究分数阶微积分理论，他们将Cauchy积分公式进行推广，得到了函数的分数阶导数的定义。近年来分数阶微积分被广泛的应用于反常扩散、信号处理与控制、流体力学、图像处理、软物质研究、地震分析、粘弹性阻尼器、电力分形网络、分数阶正弦振荡器、分形理论、分数阶PID控制器设计等领域。因此，进一步推广和完善分数阶微积分运算的理论体系显得尤为重要。1.2分数阶微积分理论的研究现状现阶段对于分数阶微积分的研究理论还并不完善，单就分数阶的定义，就有很多种，定义的不同也会带来算法形式上的差异，继而会造成算法稳定性证明与精度分析方法的不同。目前常用的是Grünwald-Letnikov分数阶导数、Riemann-Liouville分数阶导数、Caputo分数阶导数以及Weyl分数阶导数这四种定义方式。而对于分数阶微分方程，尽管有些方程的解析解可以求得出来，但人们注意到很多分数阶微分方程的解析解是用比较特殊的函数来表示的，而要数值地表示这些特殊的函数是很困难的。甚至有些非线性方程是不可能求出其解析解的。目前也只有个别理论可用于解决部分特殊情况下的问题，并不具有普适性。1.3文章的组织结构本文共有7章，各章的内容如下：第一章，主要介绍本课题的研究背景、意义；分数阶微积分及分数阶方程的研究现状；第二章，主要介绍分数阶微积分的四种常用的定义方法，包括Grünwald-Letnikov分数阶导数定义、Riemann-Liouville分数阶导数定义、Caputo分数阶导数定义和Weyl分数阶导数定义还有它们之间的联系与区别；第三章，主要是探究在Riemann-Liouville分数阶导数定义下分数阶微积分的一些简单的运算法则，以及在其他三种定义下分数阶微积分这些简单运算法则成立的条件；第四章，主要在于研究分析在Riemann-Liouville分数阶导数定义下分数阶微积分的一些基本性质；第五章，主要是给出了序列分数阶导数的概念以及线性分数阶微分方程初值问题的解的存在唯一性的证明。第六章总结。2分数阶微积分的基本概念2.1Grünwald-Letnikov分数阶导数定义[1]首先我们来回顾一下经典的整数阶导数由各阶向后差商的极限定义：022200000()1lim()(),()1lim()2()(2),......()1lim1()1(1)1lim(),;(1)(1)hhnnknnhkknhkdftftfthdthdftftfthfthdthndftftkhkdthnftkhnhknk（2.1.1）其中，当kn时，0nk。将上式整数阶导数的定义推广到任意阶，即将（2.1.1）中的n用任意实数取代，可以得到标准的Grünwald-Letnikov分数阶导数定义：001(1)1()lim(),0.(1)(1)kGLhkDftftkhhkk