坐标表象与动量表象

第五章表象§1坐标表象与动量表象§2本征值为分立的力学量表象§3表象变换§4Dirac符号§1坐标表象与动量表象表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。坐标表象的波函数,xt给出t时刻到粒子处于2,xtdx~xxdx之间的几率,xt满足Schrodinger222,,,2ixtVxtxttmx对不显含时间t，则可以分离变量x与t,Vxt,xt/,iEtxtex设上述定态方程的解为,,1,2,......nnxEn并设是正交归一的，即nx*nmmndxxx则含时Schrodinger方程的一般解为/,niEtnnnxtCexCn为迭加常数，由初始条件决定。若,0xtx则*nnCdxxx动量表象动量算符pix其相应的本征态为P,本征函数为/12ipxpxe构成正交完备集，体系的波函数可以用展开，即px,xtpx,,pxtdpptx两边同乘*'pdxx**'',,pppdxxtxdxdpptxx*',,'',ppdpptdxxdpptpppt*,,pptdxxtx,,xtpt与有一一对应的关系,,xtpt若是归一的，则是归一的。给出t时刻粒子的动量在之间的几率，或是粒子的动量的几率密度。2,ptdp~ppdp2,pt,pt满足的方程222,,,2ixtVxtxttmx两边同乘*pdxx22**2,,,2ppdxxixtdxxVxtxttmx2',,'',2pppiptptdpVtpttm“P”表象中的运动方程特例：当V不显含时间t时/,iEtptep例1在P表象中计算一维谐振子的定态能量和波函数解22pHVximp2222222222222222222222222222021ˆ2212222122122pmxmpmmppmmmppmmmmpmmpmp20421m定态方程22222122mpmp22Em0211122nnm22Em22211212nmmn§2本征值为分立的力学量表象1.力学量F表象的波函数：设力学量取本征值,相应的本征函数为，即若满足正交归一性，则构成完备系。nnˆFnfnˆnnnFf“x”表象波函数可表示为：,xt(),tnnnxtCx*,nnCtdxxxt同样，由归一，得到，表示t时刻粒子力学量取值为的几率，作为变量的函数，即表象中的波函数。,xt21nnCt2nCtˆFnfnfnCtˆF考虑到波函数可以看成函数空间中的矢量，可以用矩阵表示方法来表示F表象中的波函数12nCtCttCt波函数归一化：是的厄米共轭矩阵tt1tt2.任一算符在F表象中的表示：ˆQˆˆˆmmmmmmmmmmmmQxGxQabaQb***ˆ:mmnmmnmmmmnmmnmmmnmmnmdxaQdxbdxaQbQab1112111212222212.........mmnnnmmmQQQabQQQabQQQabQAB|||算符在F表象中为一方阵ˆQ3.算符在自身表象中ˆF*ˆmnmnnmnFdxFfˆnnnFf**ˆmnnnndxFfdx120011ff基：100;1其本征函数在自身表象中即对角的4.波函数的内积：“x”中内积：“F”*nnnndxxxxaxb***111nnnnnndxxxdxab***1111111***122,,nnnnnnnnnnnnnnFFnabdxabbabaab1122;FFabab5.“F”中的Schrodinger方程()ˆ,,ˆtnnnnnnixtHxttiaxHatxt**:tmnmnndxxiadxxxtnmnnmnnntmmnnniaaHtiaHatitHtt*ˆtnmnnadxxHx111211212221;nnnnHHHaHHtaHHH同样，对定态Schrodinger方程，V不显含t，则/iEtte该方程有非零解6.平均值：*ˆ,,QdxxtQxtQ说明：对三维运动，要选择三个相互对易的力学量完全集，如的共同本征函数完备集作为表象的基。如设的本征值都是分离的，分别为其量子数分别为，它们的共同本征函数记为，则可选定一排序方法，并依次记为1，2，…，如记，则得到表象中相应的表示。ˆˆˆ,,ABCABC,,ABC,,nlmabc,,nlmnlm11122212,nlmnlmUU,nnxtaUABC求：李子的定态能量和波函数。已知t=0的波函数为求任意t时刻的波函数,xt1231,02,2xUxUxUx例：设Q表象的基为，某粒子的HamiltonianH在Q表象中的矩阵为123,,UxUxUx0200012021HE解：HE00200012021aaEbEbcc200det012002122140231本征函数1:3000220022abc03012201aabbcc1011212:0000120021abc2000200bcbcbcbcbc21003:1000220022abc0022012201aabcbbcc301121123213231212xUxUxxUxUxUx一般解/,niEtnnnxtCe31232123,022ccxtUxUxcUxUU1313123112312222ccccUxUUcUUU21312313202112222112222cccccccc32//2322,22iEtiEtxtee23323/////102221101222201iEtiEtiEtiEtiEteeeee§3表象变换本节讨论本征值为分立的力学量表象之间的波函数变换与算符变换，为方便计，我们考虑一维的情况，但这并不失一般性。设表象“A”中12Aaa其基为n算符*ˆmnmLdxxLxx则在“B”中，波函数和算符L如何表示？现有另一表象“B”，基为n显然，任意波函数,nnnnnnxtab**:mnmnnmnmnndxadxbb记*mnmnSdx则mnnmnSab或BASS矩阵的性质：S是幺正的力学量在“A”，“B”中的关系在A中*ˆAmnmnLdxL在B中*ˆBLdxL又有**,,nnnnnnnnnnccdxdddx***********ˆˆ'''''''''nnmmnmnmnmmnAnmnmmnAnmnmmnAnnmmmnAnnmmmndxcLdcddxLdxxxdxxxLdxdxxxxxLdxxxLdxxxSLSBL†BALSLS§4Dirac符号1.右矢：Dirac引进右矢表示一般抽象的态矢，为清楚起见，则于其内标t的某种记号，如表示波函数的态可记为而对于本征值，常用本征值或相应的量子数标在右矢内。如坐标的本征值为，本征函数则记为ˆx'x'x动量的本征值为，本征函数则记为ˆppp能量的本征值为，本征函数则记为ˆHnEnE一般的，力学量，其本征值为，其相应的态矢记为ˆQnqnqorn则上述相应的本征方程为：ˆ'''ˆˆˆnixxxxppppHnEnQiqi2.左矢及内积：左矢††*?dx|如：动量本征函数的正交归一：*'''|'ppdxxxpppppp*|mnmnmndxmn3.完备性：,nnnxtC