总习题六

总习题六1一金属棒长3m离棒左端xm处的线密度为11)(xx(kg/m)问x为何值时[0x]一段的质量为全棒质量的一半?解x应满足300112111dttdttx因为212]12[1100xtdttxx1]12[2111213030tdtt所以1212x45x(m)2求由曲线asina(cossin)(a0)所围图形公共部分的面积解432222)sin(cos21)2(21daaS24322241)2sin1(28adaa3设抛物线cbxaxy2通过点(00)且当x[01]时y0试确定a、b、c的值使得抛物线cbxaxy2与直线x1y0所围图形的面积为94且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小解因为抛物线cbxaxy2通过点(00)所以c0从而bxaxy2抛物线bxaxy2与直线x1y0所围图形的面积为23)(102badxbxaxS令9423ba得968ab该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为)235()(221022abbadxbxaxV)]968(2)968(315[22aaaa令0)]128(18181863125[aaaddV得35a于是b24求由曲线23xy与直线x4x轴所围图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积解所求旋转体的体积为7512722240274023xdxxxV5求圆盘1)2(22yx绕y轴旋转而成的旋转体的体积解)2(122312dxxxV22224cos)sin2(4sin2tdtttx令6抛物线221xy被圆322yx所需截下的有限部分的弧长解由222213xyyx解得抛物线与圆的两个交点为)1,2()1,2(于是所求的弧长为2022202])1ln(2112[212xxxxdxxs)32ln(67半径为r的球沉入水中球的上部与水面相切球的比重与水相同现将球从水中取出需作多少功?解建立坐标系如图将球从水中取出时球的各点上升的高度均为2r在x处取一厚度为dx的薄片在将球从水中取出的过程中薄片在水下上升的高度为rx在水上上升的高度为rx在水下对薄片所做的功为零在水上对薄片所做的功为dxxrxrgdW))((22对球所做的功为grxdxrxrgWrr22234))((8边长为a和b的矩形薄板与液面成角斜沉于液体内长边平行于液面而位于深h处设ab液体的比重为试求薄板每面所受的压力解在水面上建立x轴使长边与x轴在同一垂面上长边的上端点与原点对应长边在x轴上的投影区间为[0bcos]在x处x轴到薄板的距离为hxtan压力元素为dxxhgadxaxhgdP)tan(coscos)tan(薄板各面所受到的压力为)sin2(21)tan(coscos0bhgabdxxhgaPb9设星形线tax3costay3sin上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方在原点O处有一单位质点求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力解取弧微分ds为质点则其质量为dsyxdsyx322322)()(其中tdttadttatadscossin3])sin[(])cos[(2323设所求的引力在x轴、y轴上的投影分别为Fx、Fy则有202222322)()(1dsyxxyxyxGFx2204253sincos3GatdttGa202222322)()(1dsyxyyxyxGFx2204253sincos3GatdttGa所以)53,53(22GaGaF