高二经典双曲线教案

1双曲线教学目标:1、掌握双曲线的定义，标准方程，几何性质，离心率，通径，最值。2、熟练地运用待定系数法求标准方程，学会求最值的方法和焦点三角形的解法。重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质。难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线。【教学内容】1、引入：太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。问这牛群是怎样组成的？（阿基米德分牛问题）2、双曲线的基本概念1.双曲线的定义：双曲线的定义在平面内，到两个定点21,FF的距离之差的绝对值等于常数)2,0(221FFaaa且的动点P的轨迹叫作双曲线.这两个定点21,FF叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1.双曲线的定义中，常数a2应当满足的约束条件：21212FFaPFPF，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2.若去掉定义中的“绝对值”，则仅能表示双曲线的一支；3.若常数a满足约束条件：21212FFaPFPF，则动点轨迹是以21FF、为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数a满足约束条件：21212FFaPFPF，则动点轨迹不存在；5．若常数0a，则动点轨迹为线段21FF的垂直平分线。2.双曲线的标准方程：1．当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程：)0,0(12222babyax，其中222bac；2．当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程：)0,0(12222babxay，其中222bac.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有222bac；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.23.双曲线的简单几何性质:（1）对称性：双曲线)0,0(12222babyax是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线ax和ax的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足axorax。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。②双曲)0,0(12222babyax与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为)0,(),0,(21aAaA，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。③两个顶点间的线段21AA叫作双曲线的实轴；设)0,(),0,(21aBaB为y轴上的两个点，则线段21BB叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为bBBaAA2,22121。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。注意：①实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。（4）离心率：①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作acace22。②因为0ac，所以双曲线的离心率1ace。由222bac，可得12222eaacab，所以ab决定双曲线的开口大小，ab越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。③等轴双曲线ba，所以离心率2e。（5）渐近线：经过点21AA、作y轴的平行线ax，经过点21BB、作x轴的平行线by，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是xaby。我们把直线xaby叫做双曲线的渐近线。（双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交）特别注意：双曲线的焦点三角形，弦长公式，中点弦问题与椭类似。【例题讲解】例1已知双曲线191622yx，求双曲线的实（虚）轴顶点坐标，焦点坐标，准线方程，渐近线方程.3练习：求双曲线)0,0(22nmmnmynx的实（虚）半轴长，焦点坐标，准线方程，渐近线方程.例2已知⊙O1：4)5(22yx，⊙O2：9)5(22yx（1）若动圆P与⊙1，⊙2均内切，求动圆圆心P点的轨迹；（2）若动圆Q与⊙1，⊙2均外切，求动圆圆心Q点的轨迹。练习：在方程nmymx22中，若0mn，则方程的曲线是（）A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线例3设双曲线C经过点)2,2(，且与双曲线1422xy具有相同渐近线，求双曲线C标准方程.练习：1.双曲线116922yx与16922yx一定有相同的（）A.焦点B.准线C.渐近线D.离心率2.与双曲线116922yx有共同的渐近线，并且过点)28,6(A的双曲线的标准方程例4设21,FF分别为双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点，双曲线上存在一点4P使得abPFPFbPFPF49,32121，求双曲线的离心率.练习：（1）双曲线14416922xy的离心率（2）已知双曲线)0,0(12222babyax的一条渐近线与曲线12xy相切，则该双曲线的离心率为例5已知双曲线C的离心率为2，焦点为21,FF,点A在C上，若AFAF212,求12cosFAF的值.例6双曲线E与椭圆1162522yx有公共焦点，且离心率为23.（1）求双曲线E的方程；（2）若斜率为1的直线l交双曲线E于BA,两点，且304AB，求l的方程.例7已知双曲线4422yx以及点)1,8(M，过点M的直线与双曲线相交于BA,两点，M为线段AB的中点，求直线的方程.5【过手练习】1.已知方程22121xykk的图象是双曲线，那么k的取值范围是（）A.1kB.2kC.1k或2kD.21k2.双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点分别为12F,F,P是双曲线上一点，满足212|PFFF|，直线1PF与圆222xya相切，则双曲线的离心率e为（）A.54B.3 C.233D.533.过双曲线2212yx的右焦点F作直线l交双曲线于BA,两点，若4AB，则这样的直线l有（）A.1条B.2条C.3条D.4条4.过原点的直线l，如果它与双曲线22134yx相交，则直线l的斜率k的取值范围是.5.设P为双曲线1422yx上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是．【拓展训练】例8已知双曲线错误!未找到引用源。的一条渐近线方程为错误!未找到引用源。，两条准线的距离为l.（1）求双曲线的方程；（2）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPM·kPN的值.【链接高考】已知双曲线)0,0(12222babyax的一条渐近线平行于直线l：210yx=+，双曲线的6一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）1205.22yxA22.1205xyB-=2233.125100xyC-=2233.110025xyD-=【课后作业】1.等轴双曲线222:ayxC与抛物线216yx的准线交于A,B两点，43AB＝，则双曲线C的实轴长等于（）A.2B.22C.4D.82.已知双曲线1922myx的一条渐近线的方程为yx53=，则双曲线的焦点到直线的距离为()A．2B.14C.5D.523.若直线过点)0,3(与双曲线369422yx只有一个公共点，则这样的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条4.方程221()23xykkkR＝表示双曲线的充要条件是（）A.2k或3kB.3kC.2kD.32k5.过双曲线)0,0(12222babyax的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于.6.已知双曲线22221(00)xya,bab的渐近线与圆22420xyx有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是．7.已知双曲线)0,0(12222babyax的右焦点为(0)Fc,．（1）若双曲线的一条渐近线方程为yx且2c，求双曲线的方程；（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为3，求双曲线的离心率．