一元二次不等式解法以及应用专题

一元二次不等式一元二次不等式：含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式不等式题型一、解一元二次不等式1.一元二次不等式的解法（大于取两边，小于取中间）(1)通过对不等式的变形，使不等式右边为0，左边二次项系数为正(2)对不等式的左边进行因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式;(3)求出相应一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实数根;(4)画出对应的二次函数的简图(5)根据图象写出不等式的解集例1.02532xx263-2xx091242xx01062xx02322xx0532xx题型二、含参数的一元二次不等式及其解法1.解含参数的不等式时，应对参数进行讨论(1)以二次项系数是否为0进行讨论，以确定不等式是否为元二次不等式(2)转化为标准形式(即右边为0，左边二次项的系数为正数)后，再对判别式与0的大小作为分类标准进行讨论;(3)如果判别式大于0，但对应方程的两实根的大小还不能确定，此时，再以两实数根大小为分类标准进行讨论2.含参数的不等式的解题步骤(1)将二次项系数转化为正数(2)判断对应的二次方程是否有根(如果可以直接分解因式，此步可省去)(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异实根，要分析两根的大小)注意1.当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0这决定了不等式是否为二次不等式2.含参数的一元二次不等式的讨论顺序为:(1)二次项系数;(2)判别式;(3)若有实数根，两实数根的大小顺序3.对参数的讨论还应注意以下几个方面:(1)对参数分类时，要目标明确，讨论时要不重不漏;(2)最后结果要分类回答，切不可取并集，解集为空集时，也是其中一类，不要随便丢掉4.并不是所有含有参数的不等式都要进行分类讨论例1.解关于x的不等式：05622aaxx例2.解关于x的不等式：0)(322axaax变式练习：1.解关于x的不等式：xxa2)1(22.解关于x的不等式：01)1(2xaax题型三、三个“二次”的应用方法规律：给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和02cbxax的两实根，由根与系数的关系可知a，b，c之间的关系(1)如果不等式02cbxax的解集为exdx，则说明a＜0，exdx21,分别为方程02cbxax的两根；若解集为exdxx或，则说明a0,exdx21,分别为02cbxax的两根(2)如果不等式的解集为02cbxaxexdx，则说明a0，exdx21,分别为02cbxax的两根，若解集为exdxx或，则说明a0,exdx21,分别为02cbxax的两根例1.已知不等式21022xxxbxax或的解集为，求a,b的值例2.若不等式的解集。求不等式或的解集为032,43022bcaxbxxxxcbxax题型四、一元二次方程根的分布（两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即kxkx21,两根都大于k即kxkx21,一个根小于k，一个大于k即21xkx大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kfkkk综合结论（不讨论a）020bkaafk020bkaafk0kfa一元二次方程的两根与k的大小比较主要结论：acb42的大小与kab2-的大小与0kf例1.已知方程的取值范围求实数的两根都大于mmmxx,201222例2.已知二次方程的取值范围，求的两个根都小于m102)12(2mxmmx题型五、两根分布与区间),nm（的关系（根在区间上的分布）分布情况两根都在nm,内两根有且仅有一根在nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在nm,内，另一根在qp,内，qpnm大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq或00fmfnfpfq大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq或00fmfnfpfq综合结论（不讨论a）——————0nfmf00qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间nm,外，即在区间两侧12,xmxn，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a时，00fmfn；（2）0a时，00fmfn例1.若关于x的方程的取值范围，求实数，一个跟小于的两根，一个根大于kkxkx11023222例2.求实数m的取值范围，使关于x的方程062)1(22mxmx（1）有两个实根，且一个比2大，一个比2小（2）有两个实根，，且满足410变式练习：1、已知二次方程221210mxmxm有一正根和一负根，求实数m的取值范围。2、已知二次函数222433ymxmxm与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。题型六、可化为一元二次不等式的不等式的解法1.分式不等式2.高次不等式例1.解不等式：0)12)(22xxx（例2.解不等式0)248)(1)(32(2xxxx例3.解分式不等式：01312xx3231x5x1413353222xxxx题型七、一元二次不等式的恒成立一元二次不等式恒成立问题的解法：（1）分离参数法：把所求参数与自变量分离，转化为求具体函数的最值问题。（2）不等式组法:借助二次函数的图像性质，列不等式组例1．已知不等式x2-2ax+20对Rx恒成立，求实数a的取值范围。例2．对任意]1,1[a，不等式024)4(2axax恒成立，求x的取值范围。例3:若-3x1时，不等式（1-a）x2-4x+60恒成立，求a的取值范围。变式练习：1.已知函数])1(lg[22axaxy的定义域为R，求实数a的取值范围。2.（1）已知不等式(1)21xmx对0,3x恒成立，求实数m的取值范围。（2）已知不等式(1)21xmx对0,3m恒成立，求实数x的取值范围。3.已知aaxxxf3)(2，若2)(],2,2[xfx恒成立，求a的取值范围.