等差数列及其前n项和专题练习(含参考答案)

数学27等差数列及其前n项和一、选择题1．数列{2n－1}的前10项的和是(C)A．120B．110C．100D．10[解析]∵数列{2n－1}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴S10＝a1＋a10×102＝1＋19×102＝100.故选C．2．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金缍，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”(D)A．6斤B．7斤C．8斤D．9斤[解析]设这根金锤从头到尾每一尺的重量构成等差数列{an}，由已知得a1＝4，a5＝2，求a2＋a3＋a4，∵a2＋a3＋a4＝3a3＝3×a1＋a52＝9，故选D．3．设等差数列{an}的公差为d，且a1a2＝35,2a4－a6＝7，则d＝(C)A．4B．3C．2D．1[解析]∵{an}是等差数列，∴2a4－a6＝a4－2d＝a2＝7，∵a1a2＝35，∴a1＝5，∴d＝a2－a1＝2，故选C．4．在等差数列{an}中，若a1，a2015为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a2＋a1008＋a2014＝(B)A．10B．15C．20D．40[解析]因为a1，a2015为方程x2－10x＋16＝0的两根，所以a1＋a2015＝10.由等差数列的性质可知，a1008＝a1＋a20152＝5，a2＋a2014＝a1＋a2015＝10，所以a2＋a1008＋a2014＝10＋5＝15.故选B．5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝50，S10＝200，则a10＋a11的值为(D)A．20B．40C．60D．80[解析]设等差数列{an}的公差为d，由已知得S5＝5a1＋5×42d＝50，S10＝10a1＋10×92d＝200，即a1＋2d＝10，a1＋92d＝20，解得a1＝2，d＝4.∴a10＋a11＝2a1＋19d＝80.故选D．6．设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝－2n＋1，则数列{Snn}的前11项和为(D)A．－45B．－50C．－55D．－66[解析]∵an＝－2n＋1，∴数列{an}是以－1为首项，－2为公差的等差数列，∴Sn＝n[－1＋－2n＋1]2＝－n2，∴Snn＝－n2n＝－n，∴数列{Snn}是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列{Snn}的前11项和为11×(－1)＋11×102×(－1)＝－66，故选D．7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(B)A．1升B．6766升C．4744升D．3733升[解析]设该等差数列为{an}，公差为d，由题意得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，即4a1＋6d＝3，3a1＋21d＝4，解得a1＝1322，d＝766.∴a5＝1322＋4×766＝6766.故选B．8．等差数列{an}的公差为d，关于x的不等式dx2＋2a1x≥0的解集为[0,9]，则使数列{an}的前n项和Sn取得最大的正整数n的值是(B)A．4B．5C．6D．7[解析]由dx2＋2a1x≥0的解集为[0,9]得，d0且9d＋2a1＝0，∴a1＝－92d，Sn＝d2n2＋(a1－d2)n＝d2n2－5dn＝d2(n2－10n)，当n＝5时，Sn取得最大值，故选B．二、填空题9．中位数为1011的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为__3___．[解析]设首项为a1，则a1＋2019＝2×1011，解得a1＝3.故填3．10．已知数列{an}中，a1＝1且1an＋1＝1an＋13(n∈N*)，则a10＝14．[解析]由已知得1a10＝1a1＋(10－1)×13＝1＋3＝4，故a10＝14．11．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝0，a6＋a7＝14，则S7＝__14___．[解析]解法一：设数列{an}的公差为d，则a6＋a7＝2a3＋7d＝14，又∵a3＝0，∴d＝2，∴a7＝a3＋4d＝8，又a3＝a1＋2d，∴a1＝－4，∴S7＝7a1＋a72＝7×－4＋82＝14．解法二：设数列{an}的公差为d，则a6＋a7＝2a3＋7d＝14，又∵a3＝0，∴d＝2，∴a4＝a3＋d＝2．∴S7＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝7a4＝14．12．在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为__9___．[解析]解法一：∵S4＝1，S8＝4，∴S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16成首项为1，公差为2的等差数列，∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝1＋2×(5－1)＝9．解法二：由等差数列的性质知{Snn}是等差数列，且其公差d＝S88－S448－4＝12－144＝116∴S2020＝S88＋12d＝12＋34＝54，∴S20＝25，同理S16＝16，∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝9．三、解答题13．设{an}是等差数列，且a1＝ln2，a2＋a3＝5ln2．(1)求{an}的通项公式；(2)求ea1＋ea2＋…＋ean．[解析](1)设{an}的公差为d．因为a2＋a3＝5ln2，所以2a1＋3d＝5ln2．又a1＝ln2，所以d＝ln2．所以an＝a1＋(n－1)d＝nln2．(2)因为ea1＝eln2＝2，eanean－1＝ean－an－1＝eln2＝2，所以{ean}是首项为2，公比为2的等比数列．所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×1－2n1－2＝2(2n－1)．14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15．(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．[解析](1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15．由a1＝－7得d＝2．所以{an}的通项公式为an＝2n－9．(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16．所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16．[方法总结]求等差数列前n项和Sn的最值的方法：(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn(a≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值．(2)邻项变号法：①当a10，d0时，满足am≥0，am＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值，为Sm(当am＋1＝0时，Sm＋1也为最大值)；②当a10，d0时，满足am≤0，am＋1≥0的项数m使得Sn取得最小值，为Sm(当am＋1＝0时，Sm＋1也为最小值)．1．已知{1an}是等差数列，且a1＝1，a4＝4，则a10＝(A)A．－45B．－54C．413D．134[解析]由题意，得1a1＝1，1a4＝14，所以等差数列{1an}的公差为d＝1a4－1a13＝－14，由此可得1an＝1＋(n－1)×(－14)＝－n4＋54，因此1a10＝－54，所以a10＝－45.故选A．2．(理)(2018·湖北咸宁联考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S5＝10，则{an}的公差为(C)A．23B．12C．13D．14[解析]由题意知a1＋a2＝3①，S5＝5a1＋a52＝10，即a1＋a5＝4②，②－①得3d＝1，∴d＝13，故选C．3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8＝(D)A．18B．12C．9D．6[解析]由题意得S11＝11a1＋a112＝112a1＋10d2＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D．4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(C)A．3B．4C．5D．6[解析]由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以等差数列的公差为d＝am＋1－am＝3－2＝1，由am＝a1＋m－1d＝2，Sm＝a1m＋12mm－1d＝0，得a1＋m－1＝2，a1m＋12mm－1＝0，解得a1＝－2，m＝5.故选C．5．(河南省信阳高中、商丘一中2019届高三上学期第一次联考(1月)数学试题)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1．(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝an＋1n＋1bn＋2n，求数列{cn}的前n项和Tn．[解析](1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，当n＝1时a1＝S1＝11，符合上式，所以an＝6n＋5，则a1＝b1＋b2a2＝b2＋b3，得b1＝4d＝3，所以bn＝3n＋1．(2)由(1)得cn＝an＋1n＋1bn＋2n＝3(n＋1)·2n＋1，Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，两式作差Tn＝3n·2n＋2．