论线性代数在现实生活中的应用(结课论文)

论线性代数在实际生活的应用【摘要】我们对线性代数的了解大概是，线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容，其理论应用，是研究现代科学技术的重要方法，在众多的科学技术领域中应用都十分广泛。可我们仅从课本上学到的东西都是经许多先辈们的梳理总结出来的精华。在此我希望通过讲解线性代数的定义，线性代数的发展历史及其突出贡献，在现实生活的实际应用给我们带来的便捷性阐述我们为什么要学习线性代数，线性代数的学科性质给人来发展做出了怎样的贡献。【关键词】线性代数；实际生活；应用实例一、什么是线性代数线性代数（LinearAlgebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。线性代数更是是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数主要分为向量，行列式，矩阵，方程组，二次型，从解方程到群论几大板块。二、为什么要学习线性代数以上这就是数学家给出线性代数的定义，可线线性代数被不少同学称为“天书”，足见这门课给同学们造成的困难，而且很大部分把学生（特别是偏向文科类的高校大学生）认为，高数无用论，线性代数是高数的重要分支，自然成了首要被攻击的对象。我身边的一位人文社会科学系专业的学生小朱这样说道：“人文社会科学专业注重的应该是学生抽象思维的培养，一味地强调全面发展有时反而会起到负面作用。文科生学高数，学线性代数，有什么用处呢？就算有用，也往往是在用之前，就被遗忘和荒废了。”而更有专家指出“就自己的经历来讲，她认为文科生开设高数课毫无益处，尤其是中文系，开设纯理论的数学实在是很荒谬”。她认为，说要培养数字概念和数学思维，高中学的知识已经足够了，没有必要再在大学开设线性代数这门学科。我相信大部分人都跟我一样，特别是偏向文科学科的同学都会有这样的疑问——到底有没有必要学习线性代数？到底线性代数在我们现实生活中又有什么意义？对我们人类的发展进步何帮助？让我们带着这样的疑问一起看看下面内容，我相信大家会有一个答案。三、线性代数的发展历史线性代数的发展历史。线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量。现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为n的向量空间叫做n维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象n维空间中的向量，但是实际上却是这样的向量（即n元组）用来表示数据非常有效。由于作为n元组，向量是n个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。因为费马和笛卡儿的工作，所以我们一般认为线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。可是当到了十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡。矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。而我们同样也知道，“代数”这一个词在中国出现较晚，在清代时才被传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，之后一直沿用。四、线性代数被广泛运用的原因为什么线性代数得到广泛运用，也就是说，为什么在实际的科学研究中解线性方程组是经常的事，而并非解非线性方程组是经常的事呢？原因之一，大自然的许多现象恰好是线性变化的，研究的是单个变量之间的关系。例如我们高中学过的物理学科中，物理可以分为机械运动、电运动、还有量子力学的运动。而比较重要的机械运动的基本方程是牛顿第二定律，即物体的加速度同它所受到的力成正比，其实这又恰恰符合基本的线性微分方程。再如电运动的基本方程是麦克思韦方程组，这个方程组表明电场强度与磁场的变化率成正比，而磁场的强度又与电场强度的变化率成正比，因此麦克思韦方程组也正好是线性方程组。原因之二，之后随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，因为各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而且由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，所以，线性代数因这方面的成为了解决这些问题的有力工具而被广泛应用。原因之三，在数学中线性代数与几何和代数有着不可分割的联系。线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念变为抽象出来的公理化方法，对于强化人们的数学训练，增强科学性是非常有用的。五、线性代数在实际中的应用（仅以我们日常生活会遇到情况为实例）1.在人们平常日常生活的应用——减肥配方的实现大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质量以适当的单位计量）。设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中还给出了80年代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方。现在的问题是：如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少？才能全面准确地实现这个营养要求。营养每100g食物所含营养(g)减肥所要求的每日营养量脱脂牛奶大豆面粉乳清蛋白质36511333碳水化合物52347445脂肪071.13设脱脂牛奶的用量为x1个单位（100g），大豆面粉的用量为x2个单位（100g），乳清的用量为x3个单位（100g），表中的三个营养成分列向量为：12136511352,34,74,071.1aaa则它们的组合所具有的营养为112233123365113523474071.1xaxaxaxxx使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，就可以得到以下的矩阵方程：1233651133352347445071.13xxAxbx用MATLAB解这个问题非常方便，列出程序ag763如下：A=[36,51,13;52,34,74;0,7,1.1]b=[33;45;3]x=A\b程序执行的结果为：0.27720.39190.2332x即脱脂牛奶的用量为27.7g，大豆面粉的用量为39.2g，乳清的用量为23.3g，就能保证所需的综合营养量。2.在城市人们出行的应用——交通流的分析某城市有两组单行道，构成了一个包含四个节点A,B,C,D的十字路口如图6.5.2所示。在交通繁忙时段的汽车从外部进出此十字路口的流量（每小时的车流数）标于图上。现要求计算每两个节点之间路段上的交通流量x1,x2,x3,x4。解：在每个节点上，进入和离开的车数应该相等，这就决定了四个流通的方程：节点A:x1+450＝x2+610节点B:x2+520＝x3+480节点C:x3+390＝x4+600节点D:x4+640＝x2+310将这组方程进行整理，写成矩阵形式：12233414=160=-40-=210=-330xxxxxxxx其系数增广矩阵为：1116011-40[,]1121011-330Ab用消元法求其行阶梯形式，或者直接调用U0=rref([A,b]),可以得出其精简行阶梯形式为100-1330010-1170U0=001-121000000注意这个系数矩阵所代表的意义，它的左边四列从左至右依次为变量x1,x2,x3,x4的系数，第五列则是在等式右边的常数项。把第四列移到等式右边，可以按行列写恢复为方程，其结果为：x1=x4+330,x2=x4+170,x3=x4+2100＝0由于最后一行变为全零，这个精简行阶梯形式只有三行有效，也就是说四个方程中有一个是相依的，实际上只有三个有效方程。方程数比未知数的数目少，即没有给出足够的信息来唯一地确定x1,x2,x3,和x4。其原因也不难从物理上想象，题目给出的只是进入和离开这个十字路区的流量，如果有些车沿着这四方的单行道绕圈，那是不会影响总的输入输出流量的，但可以全面增加四条路上的流量。所以x4被称为自由变量，实际上它的取值也不能完全自由，因为规定了这些路段都是单行道，x1,x2,x3,和x4。都不能取负值。所以要准确了解这里的交通流情况，还应该在x1,x2,x3,和x4中，再检测一个变量。3.在人口迁移的应用人口迁徙模型设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示，即,ckkskxxx其中xc为市区人口所占比例，xs为郊区人口所占比例，k表示年份的次序。在k=0的初始状态：0000.30.7csxxx。一年以后，市区人口为xc1=(1-0.02)xc0+0.06xs0，郊区人口xs1=0.02xc0+(1-0.06)xs0，用矩阵乘法来描述，可写成：11010.940.020.30.29600.060.980.70.7040csxxAxx此关系可以从初始时间到k年,扩展为2120kkkkxAxAxAx,用下列图3单行线交通流图MATLAB程序进行计算：A=[0.94,0.02;0.06,0.98]x0=[0.3;0.7]x1=A*x0,x10=A^10*x0x30=A^30*x0x50=A^50*x0程序运行的结果为：11030500.29600.27170.25410.2508,,,,0.70400.72830.74590.7492xxxx无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵A的效果。选u1为稳态向量[0.25,0.75]T的任意一个倍数，令u1=[1,3]T和u2=[-1,1]T。可以看到，用A乘以这两个向量的结果不过是改变向量的长度，不影响其相角（方向）：110.940.02110.060.9833Auu220.940.0210.920.920.060.9810.92Auu初始向量x0可以写成这两个基向量u1和u2的线性组合；0120.30110.250.050.250.050.7031xuu因此0120.250.05(0.82)kkkxAxuu式中的第二项会随着k的增大趋向于零。如果只取小数点后两位，则只要k27，这第二项就可以忽略不计而得到01270.250.250.75kkkxAxu适当选择基向量可以使矩阵乘法结果等价于一个简单的实数乘子，避免相角项出现，使得问题简单化。这也是方阵求特征值的基本思想。这个应用问题实际上是所谓马尔可夫过程的一个类型。所得到的向量序列x1,x2,...,xk称为马尔可夫链。马尔可夫过程的特点是