(全国新课标)高考数学复习等差与等比数列课件文

专题四数列第二编专题整合突破第一讲等差与等比数列主干知识整合[必记公式]1．等差数列通项公式：an＝.2．等差数列前n项和公式：Sn＝＝.3．等比数列通项公式：.4．等比数列前n项和公式：a1＋(n－1)dna1＋an2na1＋nn－1d2an＝a1·qn－1Sn＝.5．等差中项公式：．6．等比中项公式：．7．数列{an}的前n项和与通项an之间的关系：an＝.na1q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠12an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)a2n＝an－1an＋1(n∈N*，n≥2)S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2[重要结论]1．通项公式的推广：等差数列中，an＝；等比数列中，an＝.2．增减性：(1)等差数列中，若公差大于零，则数列为；若公差小于零，则数列为(2)等比数列中，若a10且q1或a10且0q1，则数列为；若a10且0q1或a10且q1，则数列为am＋(n－m)dam·qn－m递增数列递减数列．递增数列递减数列．3．等差数列{an}中，Sn为前n项和．仍成等差数列；等比数列{bn}中，Tn为前n项和．Tn，T2n－Tn，T3n－T2n，…一般仍成等比数列．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…[失分警示]1．忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件．2．漏掉等比中项：正数a，b的等比中项是±ab，容易漏掉－ab.3．忽略对等比数列的公比的讨论：应用等比数列前n项和公式时应首先讨论公式q是否等于1.4．an－an－1＝d或anan－1＝q中注意n的范围限制．5．易忽略公式an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2.6．证明一个数列是等差或等比数列时，由数列的前n项和想当然得到数列的通项公式，易出错，必须用定义证明．7．等差数列的单调性只取决于公差d的正负，而等比数列的单调性既要考虑公比q，又要考虑首项a1的正负.热点考向探究考点数列的概念、表示方法及递推公式典例示法题型1利用递推关系求通项公式典例1(1)已知正项数列{an}满足a1＝1，(n＋2)a2n＋1－(n＋1)a2n＋anan＋1＝0，则它的通项公式为()A．an＝1n＋1B．an＝2n＋1C．an＝n＋12D．an＝n[解析]由(n＋2)a2n＋1－(n＋1)a2n＋anan＋1＝0，得[(n＋2)an＋1－(n＋1)an](an＋1＋an)＝0，又an0，所以(n＋2)an＋1＝(n＋1)an，即an＋1an＝n＋1n＋2，an＋1＝n＋1n＋2an，所以an＝nn＋1·n－1n·…·23a1＝2n＋1a1(n≥2)，所以an＝2n＋1(n＝1适合)，于是所求通项公式为an＝2n＋1.(2)[2015·江苏高考]设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列1an前10项的和为______．[解析]由a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)得，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12，则1an＝2nn＋1＝21n－1n＋1，故数列1an前10项的和S10＝21－12＋12－13＋…＋110－111＝21－111＝2011.2011题型2利用an与Sn的关系求an典例2[2015·全国卷Ⅰ]Sn为数列{an}的前n项和，已知an0，a2n＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和．[解](1)由a2n＋2an＝4Sn＋3，可知a2n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.可得a2n＋1－a2n＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a2n＋1－a2n＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．由于an0，可得an＋1－an＝2.又a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.(2)由an＝2n＋1可知bn＝1anan＋1＝12n＋12n＋3＝1212n＋1－12n＋3.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1213－15＋15－17＋…＋12n＋1－12n＋3＝n32n＋3.求数列通项公式的常见类型及方法(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．(2)已知Sn与an的关系，利用an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，求an.(3)累加法：数列递推关系形如an＋1＝an＋f(n)，其中数列{f(n)}前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)．(4)累乘法：数列递推关系形如an＋1＝g(n)an，其中数列{g(n)}前n项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．(5)构造法：①递推关系形如an＋1＝pan＋q(p，q为常数)可化为an＋1＋qp－1＝pan＋qp－1(p≠1)的形式，利用an＋qp－1是以p为公比的等比数列求解；②递推关系形如an＋1＝panan＋p(p为非零常数)可化为1an＋1－1an＝1p的形式．考点等差、等比数列的运算典例示法题型1等差、等比数列的基本运算典例3[2015·全国卷Ⅱ]已知等比数列{an}满足a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝()A．2B．1C.12D.18[解析]设等比数列{an}的公比为q，a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，由题可知q≠1，则a1q2×a1q4＝4(a1q3－1)，∴116×q6＝414×q3－1，∴q6－16q3＋64＝0，∴(q3－8)2＝0，∴q3＝8，∴q＝2，∴a2＝12，故选C.题型2等差、等比数列性质的运算典例4[2016·全国卷Ⅰ]设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．64[解析]设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得a1＝8，q＝12，则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝12，所以a1a2…an≤a1a2a3a4＝64.1．等差(比)数列基本运算中的关注点(1)基本量在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个基本量．(2)解题思路①求公差d(公比q)：常用公式an＝am＋(n－m)d(an＝amqn－m)；②列方程组：若条件与结论的联系不明显时，常把条件转化为关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元及整体计算，以减少计算量．2．等差(比)数列的性质盘点考点等差、等比数列的判断与证明典例示法典例5[2014·全国卷Ⅰ]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．[解](1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1，由(1)知，a3＝λ＋1.若{an}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．在本例题(2)中是否存在λ，使得{an}为等比数列？并说明理由．解由题设可知a1＝1，a1a2＝λS1－1，得a2＝λ－1，由(1)知a3＝λ＋1，若{an}为等比数列，则a22＝a1a3，即(λ－1)2＝λ＋1，解得λ＝0或λ＝3.当λ＝0时，anan＋1＝－1，又a1＝1，所以a2＝－1，a3＝1，…，an＝(－1)n－1，所以数列{an}为首项为1，公比为－1的等比数列；当λ＝3时，a1＝1，a2＝2，a3＝4，故可令an＝2n－1，则anan＋1＝22n－1.λSn－1＝3·2n－4，易得anan＋1与λSn－1不恒相等，与已知条件矛盾．综上可知，存在λ＝0，使得{an}为等比数列．1．等差数列的判定方法(1)证明一个数列{an}为等差数列的基本方法有两种①利用等差数列的定义证明，即证明an＋1－an＝d(n∈N*)；②利用等差中项证明，即证明an＋2＋an＝2an＋1(n∈N*)．(2)解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断①通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B，则{an}是等差数列．②前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}是等差数列．2．等比数列的判定方法(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．提醒：若判断一个数列不是等差(等比)数列，则只需说明前三项不是等差(等比)数列即可．针对训练[2016·云南统测]在数列{an}中，a1＝35，an＋1＝2－1an，设bn＝1an－1，数列{bn}的前n项和是Sn.(1)证明数列{bn}是等差数列，并求Sn；(2)比较an与Sn＋7的大小．解(1)证明：∵bn＝1an－1，an＋1＝2－1an，∴bn＋1＝1an＋1－1＝1an－1＋1＝bn＋1，∴bn＋1－bn＝1，∴数列{bn}是公差为1的等差数列．由a1＝35，bn＝1an－1得b1＝－52，∴Sn＝－5n2＋nn－12＝n22－3n.(2)由(1)知：bn＝－52＋n－1＝n－72.由bn＝1an－1得an＝1＋1bn＝1＋1n－72.∴an－Sn－7＝－n22＋3n－6＋1n－72.∵当n≥4时，y＝－n22＋3n－6是减函数，y＝1n－72也是减函数，∴当n≥4时，an－Sn－7≤a4－S4－7＝0.又∵a1－S1－7＝－39100，a2－S2－7＝－830，a3－S3－7＝－720，∴∀n∈N*，an－Sn－7≤0，∴an≤Sn＋7.高考随堂演练[全国卷高考真题调研]1．[2016·全国卷Ⅰ]已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝13，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和．解(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝13，得a1＝2.所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得bn＋1＝bn3，因此{bn}是首项为1，公比为13的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝1－13n1－13＝32－12×3n－1.2．[2016·全国卷Ⅲ]已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝3132，求λ.解(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝11－λ，a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0，所以an＋1an＝λλ－1.因