数学必修二试题全(附答案)

第1页共41页第一章空间几何体一、选择题1．右面的三视图所示的几何体是()．A．六棱台B．六棱锥C．六棱柱D．六边形(第1题)2．已知两个球的表面积之比为1∶9，则这两个球的半径之比为()．A．1∶3B．1∶3C．1∶9D．1∶813．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为()．4．A，B为球面上相异两点，则通过A，B两点可作球的大圆(圆心与球心重合的截面圆)有()．A．一个B．无穷多个C．零个D．一个或无穷多个5．右图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是()．)．ABCD6．下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，堆成这个几何体的木块共有()．A．1块B．2块C．3块D．4块7．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是()．正(主)视图侧(左)视图ABCD(第3题)正视图侧视图俯视图(第5题)正视图俯视图侧视图(第6题)第2页共41页A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D．斜二测坐标系取的角可能是135°8．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()．①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥(第8题)A．①②B．①③C．①④D．②④9．一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是()．ABCD10．如果一个三角形的平行投影仍然是一个三角形，则下列结论正确的是()．A．原三角形的内心的平行投影还是投影三角形的内心B．原三角形的重心的平行投影还是投影三角形的重心C．原三角形的垂心的平行投影还是投影三角形的垂心D．原三角形的外心的平行投影还是投影三角形的外心二、填空题11．一圆球形气球，体积是8cm3，再打入一些空气后，气球仍然保持为球形，体积是27cm3．则气球半径增加的百分率为．12．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是．13．右图是一多面体的展开图，每个面内都给了字母，(第13题)第3页共41页请根据要求回答问题：①如果A是多面体的下底面，那么上面的面是；②如果面F在前面，从左边看是面B，那么上面的面是．14．一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积是．三、解答题15．圆柱内有一个四棱柱，四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形．已知圆柱表面积为6，且底面圆直径与母线长相等，求四棱柱的体积．16．下图是一个几何体的三视图(单位：cm)(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(第14题)4俯视图正视图侧视图443第4页共41页(2)求这个几何体的表面积及体积.17．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕直线AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．18．已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，试比较它们的体积V正方体，V球，V圆柱的大小．俯视图ABCB＇A＇C＇11正视图B＇BA＇A3侧视图ABC1(第16题)(第17题)第5页共41页19．如图，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时水所形成的圆锥的高恰为2a，求原来水面的高度．20．如图，四棱柱的底面是菱形，各侧面都是长方形．两个对角面也是长方形，面积分别为Q1，Q2．求四棱柱的侧面积．(第20题)(第19题)第6页共41页第7页共41页参考答案一、选择题1．B解析：由正视图和侧视图可知几何体为锥体，由俯视图可知几何体为六棱锥．2．A解析：由设两个球的半径分别为r，R，则4r2∶4πR2＝1∶9.∴r2∶R2＝1∶9，即r∶R＝1∶3．3．C解析：在根据得到三视图的投影关系，∵正视图中小长方形位于左侧，∴小长方形也位于俯视图的左侧；∵小长方形位于侧视图的右侧，∴小长方形一定位于俯视图的下侧，∴图C正确．4．D解析：A，B不在同一直径的两端点时，过A，B两点的大圆只有一个；A，B在同一直径的端点时大圆有无数个．5．D解析：由几何体的正视图和侧视图可知，几何体上部分为圆锥体，由三个视图可知几何体下部分为圆柱体，∴几何体是由圆锥和圆柱组成的组合体．6．D解析：由三视图可知几何体为右图所示，显然组成几何体的长方体木块有4块．7．C解析：由平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中仍然保持不变，平行于y轴的线段长度在直观图中是原来的一半，∴C不对．8．D解析：①的三个视图均相同；②的正视图和侧视图相同；③的三个视图均不相同；④的正视图和侧视图相同．∴有且仅有两个视图相同的是②④．9．A解析：B是经过正方体对角面的截面；C是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D是(第6题)第8页共41页经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．10．B解析：在平行投影中线段中点在投影后仍为中点，故选B．二、填空题11．50%．解析：设最初球的半径为r，则8＝34r3；打入空气后的半径为R，则27＝34R3．∴R3∶r3＝27∶8．∴R∶r＝3∶2．∴气球半径增加的百分率为50%．12．160．解析：依条件得菱形底面对角线的长分别是22515＝200和2259＝56．∴菱形的边长为4256256220022＝8．∴棱柱的侧面积是5×4×8＝160．13．F，C．解析：将多面体看成长方体，A，F为相对侧面．如果A是多面体的下底面，那么上面的面是F；如果面F在前面，从左边看是面B，则右面看必是D，于是根据展开图，上面的面应该是C．14．80．解析：由三视图可知，几何体是由棱长为4的正方体和底面边长为4，高为3的四棱锥组成，因此它的体积是V＝43＋31×42×3＝64＋16＝80．三、解答题15．参考答案：设圆柱底面圆半径为r，则母线长为2r．∵圆柱表面积为6，∴6＝2r2＋4r2．∴r＝1．∵四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形，∴正方形边长为2．∴四棱柱的体积V＝(2)2×2＝2×2＝4．16．(1)略．(2)解：这个几何体是三棱柱．由于底面△ABC的BC边上的高为1，BC＝2，∴AB＝2．第9页共41页故所求全面积S＝2S△ABC＋SBB′C′C＋2SABB′A′＝8＋62(cm2)．几何体的体积V＝S△ABC·BB′＝21×2×1×3＝3(cm3)．17．解：S表面＝S下底面＋S台侧面＋S锥侧面＝×52＋×(2＋5)×5＋×2×22＝(60＋42)．V＝V台－V锥＝31(21r＋r1r2＋22r)h－31r2h1＝3148．18．解：设正方体的边长为a，球的半径为r，圆柱的底面直径为2R，则6a2＝4πr2＝6πR2＝S．∴a2＝6S，r2＝π4S，R2＝π6S．∴(V正方体)2＝(a3)2＝(a2)3＝36S＝2163S，(V球)2＝23π34r＝916π2(r2)3＝916π23π4S≈1083S，(V圆柱)2＝(πR2×2R)2＝4π2(R2)3＝4π23π6S≈1623S．∴V正方体＜V圆柱＜V球．19．解：设水形成的“圆台”的上下底面半径分别为r，R，高为h，则Rr＝aha．则依条件得3π·h·(r2＋rR＋R2)＝3π·2a·22R，化简得(h－a)3＝－87a3．解得h＝a－873a．即h＝271a．20．解：设底面边长为a，侧棱长为l，底面的两对角线长分别为c，d．则③＝21＋21②＝①＝22221adcQdlQcl33(第20题)第10页共41页由①得c＝lQ1，由②得d＝lQ2，代入③得212lQ＋222lQ＝a2．∴21Q＋22Q＝4l2a2，∴2la＝2221＋QQ．故S侧＝4al＝22221＋QQ．第二章点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．垂直于同一条直线的两条直线一定()．A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能2．正四棱柱1111DCBAABCD中，ABAA2＝1，则异面直线11ADBA与所成角的余弦值为()．A．51B．52C．53D．543．经过平面外两点与这个平面平行的平面()．A．可能没有B．至少有一个C．只有一个D．有无数个4．点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是（）．A．菱形B．梯形C．正方形D．空间四边形5．已知m，n为异面直线，m平面，n平面，∩＝l，则()．A．l与m，n都相交B．l与m，n中至少一条相交C．l与m，n都不相交D．l只与m，n中一条相交6．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝23，CC1＝2，则二面角C1-BD-C的大小为()．A．30°B．45°C．60°D．90°7．如果平面外有两点A，B，它们到平面的距离都是a，则直线AB和平面的位置关系一定是()．第11页共41页A．平行B．相交C．平行或相交D．AB8．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面．下列命题中正确的是()．A．⊥，m⊥，n∥m⊥nB．∥，m⊥，n∥m⊥nC．m⊥，n，m⊥n⊥D．⊥，∩＝m，n⊥mn⊥9．平面∥平面，AB，CD是夹在和之间的两条线段，E，F分别为AB，CD的中点，则EF与的关系是()．A．平行B．相交C．垂直D．不能确定10．平面⊥平面，A∈α，B∈β，AB与两平面，β所成的角分别为4π和6π，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′等于()．A．2∶1B．3∶1C．3∶2D．4∶3二、填空题11．下图是无盖正方体纸盒的展开图，在原正方体中直线AB，CD所成角的大小为．12．正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是．DCAB(第11题)(第12题)ABCA1B1C1EF(第10题)第12页共41页13．如图，AC是平面的斜线，且AO＝a，AO与成60º角，OC，AA′⊥于A′，∠A′OC＝45º，则点A到直线OC的距离是．(第13题)14．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为5，则侧面与底面所成二面角的大小为．15．已知a，b为直线，为平面，a∥，b∥，对于a，b的位置关系有下面五个结论：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交．其中可能成立的有个．三、解答题16．正方体AC1的棱长为a．(1)求证：BD⊥平面ACC1A1；(2)设P为D1D中点，求点P到平面ACC1A1的距离．17．如图，ABCD是正方形，O是该正方形的中心，P是平面ABCD外一点，PO底面ABCD，E是PC的中点．求证：(1)PA∥平面BDE；(2)BD⊥平面PAC．POECDBA(第17题)第13页共41页18．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．(1)求证：PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．19．如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求证：AC⊥平面B1D1DB；(2)求证：BD1⊥平面ACB1；(3)求三棱锥B-ACB1体积．20.已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且ACAE＝ADAF＝(0D1C1B1A1CDBA(第19题)(第18题)(第20题)第14页共41页＜＜1)．(1)求证：不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)当为何值时，平面BEF⊥平面ACD？第15页共41页参考答案一、选择题1．D解析：当垂直于直线l的两条直线与l共面时，两条直线平行；当这两条直线与l不共面时，两条直线平行或相交或异面．2．D解析：当将AD1平移至BC1，连接A1C1，∴∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角.在△A1BC1中，容易计算A