复变函数教案

教案姓名刘照军2010～2011学年第一学期时间2010-9-6节次1-3课程名称复变函数授课专业及层次2009级电子信息科学与技术本科1班授课内容复数与复数运算学时数3教学目的掌握复数的定义、运算、性质；复数的乘幂与方根的计算重点复数的定义、运算、性质；复数的乘幂与方根的计算难点复数的乘幂与方根的计算；幅角主值的计算自学内容平面点集使用教具多媒体相关学科知识《高等数学》中复数的相关知识教学法启发式教学法讲授内容纲要、要求及时间分配一、本人介绍二、《复变函数与积分变换》课程的特点与学习方法授课内容：第一篇复变函数第一章复数与复变函数第一节复数第二节复数的乘幂与方根第三节平面点集第一节复数一、复数概念1、复数的定义：形式定义：z=x+iy三角表示：指数表达式:2、共轭复数：设z=x+iy则共轭复数二、计算1、复数的形式运算设:5分钟5分钟10分钟5分钟5分钟)sin(cosirzireziyxz222111iyxziyxz2222211222222121211221212121212121)()()()(yxyxyxiyxyyxxzzyxyxiyyxxzzyyixxzz讲授内容纲要、要求及时间分配（附页）2、相关性质交换律、结合律、分配律3、应用例1证明4、共轭复数的运算性质例2证明三、复数的几何表示1、复平面z=x+iy(x,y)2、复数的模及性质3、复数的幅角定义有实轴的正向到向量z之间的夹角称为复数z的幅角，记作Argz4、幅角主值：argz从而例3求和三、复数四则运算的几何意义1、定理定理1两个复数乘积的模等于它们模的乘积；两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和。即：定理2两个复数商的模等于它们模的商；两个复数商的幅角等于被除数与除数的幅角差。5分钟5分钟10分钟5分钟10分钟5分钟10分钟10分钟...)(...)(11nnnniyxziyxz2221z1zz）（212121212121)()4()3()2()1(zzzzzzzzzzzzzz2izzIm(z)2zzRe(z)zz(5)z,z(4)zzzz(3)zzz,zz(2)xz(1)212121212121222利用定义极易证明zzzzzzyzxyxy),2,1,0(2argkkzArgz)43()22(iArgiArg和)()()(,21212121zArgzArgzzArgzzzz2121212121)(,0,0ArgzArgzzzArgzzzzzz时，即讲授内容纲要、要求及时间分配（附页）2、应用例4求i,-2,1-的三角表达式例5四、扩充复平面复数的球面表示、扩充复平面、复数，第二节复数的乘幂与方根一、复数的乘幂()(cossin)izxiyreri设()(cossin)nninnzxiyrernin则二、复数的方根niwzre112122(cossincos)kinnnnkkzwrerinn0,1,2,3...0,1,2,...nkkn其中，当取个单根三、应用168171ii例求的三个三次方根例计算第三节平面点集一、区域1、邻域：圆盘：去心圆盘2、相关概念：内点：、开集、边界点、边界、连通的、开区域（区域）、闭区域、有界集、无界集二、曲线1、简单曲线、简单闭曲线2、光滑曲线、分段光滑曲线三、单连通区域和多连同区域四、小节：本将主要讲述了，复数的概念及运算法则，要求会正确计算，并理解相关概念五、作业习题一p251.1.31.1.61.1.181.1.191.2.31.3.31.410分钟5分钟10分钟10分钟5分钟10分钟5分钟5分钟0zz00zz212121,,1,31zzzziziz求教案姓名刘照军2010～2011学年第一学期时间2010-9-13节次1-3课程名称复变函数授课专业及层次2009级电子信息科学与技术本科1班授课内容复变函数与初等复变函数学时数3教学目的掌握复数的定义、运算、性质；复数的乘幂与方根的计算重点定义、性质、特别是与对应实函数的比较难点初等复变函数的形式定义与性质自学内容无使用教具多媒体相关学科知识初等函数、欧拉公式教学法启发式教学法讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问1、复数、复数的四则运算、复数的共轭2、复数的模与幅角的定义与性质3、复数的幂与方根4、复数的邻域二、作业讲评CT一1.2.3授课内容：第四节复变函数1定义：定义:设D是一个给定的复数集，如果有一个法则f，zD总有确定的w和它对应，则称f是定义在D上的复变函数，记作w=f(z)，数集D叫做这个函数的定义域。,zDw，适合w=f(z)，称为单值函数。否则称其为多值函数。2、复变函数的几何解释---映照设,{,()}DZGwzDwfz则复变函数w=f(z)代表的是平面上的点集D到W平面上的点集G之间的一种变换，亦即是一种映照例2-1试想映照1,wzzRz将映照成什么图形？5分钟5分钟5分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配（附页）二、反函数与复合函数1、反函数定义：设D是一个给定的复数集，如果有一个法则f，zD,总有确定的w和它对应，则称f是定义在D上的复变函数，记作w=f(z)，反之，,{,()}wGGwzDwfz，适合w=f(z),则称z是w的反函数，记为：1()zfw，G叫做这个函数的定义域。•说明：反函数未必是一一映射2、复合函数定义：第五节初等函数一、指数函数1、定义：2、性质：3、应用例2-2二对数函数1、定义:对数函数是指数函数的反函数既，若则，可以推出多值函数单值函数2、性质3、应用例2-3求ln(-1)例2-4计算lni;Lni例2-5计算ln(-3-4i);Ln(-3-4i)三、幂函数1、定义：,其中α为复数常数，z为非零的复数变数2、性质：3、应用5分钟5分钟15分钟10分钟10分钟10分钟10分钟10分钟)(hfw1Dh)(zh2Dz122})(,{DzhDzhG))((zfw2Dz)sin(cosyiyeeexiyxzNneenznz,)(2121zzzzeee),0(zezwLnzw)2(arglnlnkziziArgzzLnzwzizzarglnlnLnzez讲授内容纲要、要求及时间分配（附页）例2-6求例2-7求四、三角函数1、正弦函数、余弦函数****定义：性质：2、其他三角函数定义：3、反三角函数定义：五、双曲函数与反双曲函数,,22zzzzeeeeshzshzchzthzchz22(1)(1)1121ArcshzLnzzArcchzLnzzzArcthzLnz六、本章总结本章主要介绍了（一）复数的定义、性质、运算法则、几何意义（二）复数函数的概念，反函数、复合函数、及初等复数函数的定义、性质。本章重点掌握内容：定义、性质，会推导性质及各种反函数的形式表达式。特别注意：在学习时，要善于与相应的实函数的定义、性质比较，特别注意不同的地方，能够真正理解，并会证明。七、作业CT一1.4.41.5.71.5.16.1.5.191.5.20.d)1.5.2915分钟10分钟10分钟5分钟5分钟5分钟2)1(ii2,2sinizizizizeeconzieezzzzzzzzzzzsin1csccos1secsincoscotcossintan为多值函数为双值函数，其中wzizizLnizArcwzziLnzArcwziziLnzArcw2221;112tan);1(cos);1(sin教案姓名刘照军2010～2011学年第一学期时间2010-9-20节次1-3课程名称复变函数授课专业及层次2009级电子信息科学与技术本科1班授课内容复变函数的极限、连续性、导数学时数3教学目的掌握复变函数的极限、连续性、导数的判定方法，会计算导数重点复变函数的极限、连续性、导数，连续与可导的判定定理难点连续与可导的判定定理；不连续点与不可导点的判定自学内容无使用教具多媒体相关学科知识与对应实函数的性质比较教学法启发式教学法讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问1、复变函数的定义及几何意义2、复变函数的反函数与复合函数4、初等复变函数的定义、性质二、作业讲评CT一1.5.29授课内容：第一篇复变函数第二章导数第一节复变函数的极限一、复变函数的极限概念1、定义：设f(z)在0z的某去心邻域D内有定义，若当00()zz有()fzA，则称常数A为其极限，记为0lim()zzfzA2、应用例3-1lim(),lim()fzAfzA00zzzz证明若则例3-21f(z)=e0zz证明函数在时极限不存在3、极限存在的充要条件****定理3-1：000f(z)=u(x,y)+(,),,ivxyzxiyAaib设00000(,)(,)(,)(,)limlim(,),lim(,)zzxyxyxyxyAuxyavxyb则4、极限定义的扩充5分钟5分钟5分钟5分钟5分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配（附页）例3-30coscoslim0zzzz求极限例3-4证明函数zzzf)(。在0z时极限不存在。二、极限运算法则定理3-2复变函数的极限对于加、减、乘、除具有封闭性第二节复变函数的连续性一、复变函数的连续性1、定义：若，则称函数f(z)在0z处连续，若f(z)在区域D内处处连续，则称函数在区域D内连续。2、复变函数连续的性质1）定理3：复变函数的连续性对于加、减、乘、除具有封闭性2）定理4：复变函数的连续性对于复合函数具有封闭性3）定理5：复平面上有界闭区域R上的连续函数w=f(z)，它的模在R上一定有界3、应用例3-5证明sinz,cosz，ze在整个复平面上是连续函数。例3-6证明三角函数在定义域内均连续第三节导数一、定义1、定义：设f(z)在的某邻域D内有定义，若存在，则称f(z)在处可导，记为：2、可导复变函数的运算法则定理6：若f(z),g(z)在区域D内可导，则它们的可导性在定义域内对加、减、乘、除封闭定理7：可导性对复合函数封闭定理8：设是两个互为反函数的单值函数，且则10分钟5分钟10分钟10分钟10分钟10分钟10分钟)(),(wzzfwzzfzzfzwdzdwzzfzzfzfzzzfzfzfzzzzz)()(limlim)()(lim)()(lim)(000/000/0或）（或zzcos)2sin()(zf0z00)()(lim0zzzfzfDzzz0z)(1)(//wzf)(),(wzzfw0)(/w讲授内容纲要、要求及时间分配（附页）二、应用例3-7证明讨论结论：1）连续函数未必可导2）可导函数必然连续例3-8计算导数三、函数可导的充要条件****1、定理9：函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域内一点z=x+iy可导的充要条件是：此定理非常重要，必须熟练掌握定理9：函数f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ)在定义域内一点r=r(θ)可导的充要条件是：四、高阶导数1、定义：对导函数继续求导数既为高阶导数2、应用;例3-10应用公式求五、小结1、复变函数的极限、连续性、可导性的运算法则2、复变函数的连续性、可导性的判断法则六、作业2.1.32.152.2.12.3.52.3.1110分钟15分钟10分钟5分钟5分钟5分钟LnzwziziLnzArczzzzfizzf),1(sin)0(/)1()(,)2()(224252的可导性2)(zzf)()(1为正整数nnzznnxvyuyvx