南京理工大学高等数学历年期末试卷

12009级（下）A卷一：填空与选择题(每空3分，共30分)1.一动点到(1,0,0)的距离为到平面4x的距离的一半,则动点的轨迹方程是___________________。2.),(yxzz由方程lnxzzy所确定，则yz=______________。3.改变积分顺序1022)d(dyyxyx,fy__________。4.若级数1()1nnnun收敛，则nnulim=______________。5L为圆周)20(sin,costtaytax,则积分222()dLxys=_______。6方程(2)0xydxxdy的通解是_________________。7设222:1xyz，则3(2)xdxdydz=()A0B443C843D838.下列级数中收敛的是()A23112nnnnB1sinnnC1123nnD112cosnnn9.设是半球面2222azyx(0z)，则Szyxd222的值为()A34aB32aC32a-D34aπ-10.设二阶常系数非齐次线性微分方程的三个特解为：,1xy,e2xxyxxye13，则该微分方程的通解可表达为()AxCxCxxee21BxxCxCxx)e1()e(21CxCCxx)e1(e21DxxxCxCe)e1(21二：（9分）求过点)2,1,3(M且通过直线12354zyx的平面方程。三：（8分）设(,)fuv的二阶偏导连续,(,)yyzfxx,求2zxy。四：（9分）求微分方程22(3)xyyexx的通解。2五：（9分）计算dyxyD22其中D是由直线0,1,yxxy围成的闭区域。六：（9分）计算2(sin5)(cos)xxLeyydxeyxdy，其中L是从)0,3(O到)0,3(A的上半圆周。七：（８分）将函数1()41fxx，展开为(1)x的幂级数并给出收敛域．八：（9分）在平面xoy上求一点，使它到0,0yx及0162yx三条直线的距离平方之和为最小。九：（9分）设曲面为抛物面)10(122zyxz，取上侧,计算332xdydzydzdxdxdy．2008级（下）A卷一：填空题)7293(1曲面33zxxyy在(1,1,3)处的切平面方程是_______。2曲线L：0zxy绕x轴旋转所形成的旋转曲面的方程为。3函数),(yxzz由方程zexyz所确定,则dz=。4累次积分20111(,)xxIdxfxydy交换积分次序后，I。5设L是2yx上从1x,到1x的一段弧,则22Lydxxdy________。6微分方程xxeyyy265的特解形式是_________。7幂级数113)1(nnnnnx的收敛区间是8直线L：34273xyz与平面：4223xyz的关系是。A平行；B垂直相交；CL在上；D相交但不垂直。9下列级数中，发散的是。A21lnnnn；B112tannnn；C1)cos1(nn；D111nnn；二：)6(设)(tfz，),(22yxxyt，其中f有二阶连续导数,有二阶连续偏导数，3求xyz。三：)6(将函数21()43fxxx展开成x的幂级数。四：)6(计算Dxd，其中D为由不等式xy22xx确定。五：)7(计算2()Ixdydzydzdxzzdxdy，其中是下半球面222zaxy－取上侧.六：)7(判断级数21sin()lnnnn是绝对收敛,条件收敛还是发散。七：)7(求解方程0)ln(ln2dxxyyxdy。八：)7(将长为l的细铁丝剪成三段，分别用来围成圆、正方形和正三角形，问怎样剪法，才能使它们所围成的面积之和最小？并求出最小值。九：)7(设D是单连通区域，函数,PQ在区域D上一阶偏导是连续的，证明：在区域D内(,)(,)PxydxQxydy是某函数的全微分的充要条件是yPxQ在区域D内恒成立。2007级（下）A卷一：填空题)42122(1设xyzarctan，则12|yxdz__________________。2级数1______________)12)(12(1nnn3曲面412zyx在)2,1,1(处的切平面方程是________________。4设是22zxy及1z所围成的闭区域，则dvzyxf),(22在柱坐标系下的三次积分是________________。5设L是直线xy在)0,0(与)1,1(的一段，则dseLyx22=________________。6设)(xf是以2为周期的周期函数，在(,]上()1fxx，它的Fourier级数为4,)sincos(210nnnnxbnxaa则1a=________________。7幂级数1)41(42nnnnxn的收敛区间（不考虑端点收敛性）是________________。8方程02233ydxdydxyddxyd的通解是________________。9交换二重积分的积分次序202________________________),(xxdyyxfdx。10微分方程yxey2满足初始条件0)0(y的特解为________________。11)21ln(x的麦克劳林级数为________________。12若1)1(1DdxI，其中1D：1x，1y；22DxydI，其中2D：122yx则_______。0,021IIA；0,021IIB；0,021IIC；0,021IID二：)6(求过点)2,1,3(A且通过直线12354zyx的平面方程。三：)6(已知2(,,),sin(2),(,)zfxuvuxyvgxy，其中,fg均可微，求zx。四：)6(求函数22(,)(2)xfxyexyy的极值。五：)6(计算(sin8)(cos7)xxLeyydxeyxdy，其中L是从(0,0)O到(6,0)A的上半圆周。六：)8(求球面2224xyzz与锥面22zxy所围的包含球心的那部分区域的体积。七：)8(计算22()xyzdxdy，其中为22zxy(1)z的下侧。八：)8(设可微函数f在),(上满足42222222)()(2)(tdxdyyxfyxtftyx，求)(xf。九：)8(设0na，且1lnlimlnnnaqn存在，证明：当1q时，级数1nna收敛。52006级（下）A卷一填空（每小题3分共15分）1曲面122yxz在点)4,1,2(的切平面的方程为___________。2设隐函数),(yxzz是由方程2yzexze确定的，则______)0,0(xz。3设是平面1zyx在第一卦限部分，则__________)(dSzyx。4设)(xf周期为2，且xexxxfx0,0,)(，)(xS是)(xf的Fourier级数的和函数，则)0(S______________。5设幂级数1nnnxa在2x处条件收敛，则幂级数13nnnnxa的收敛半径为。二选择（每小题2分共10分）1设D是平面区域，则下面说法正确的是（）（A）若),(yxf在D上可微，则),(yxf的一阶偏导在D上一定连续；（B）若),(yxf在D上一阶偏导存在，则),(yxf在D上一定可微；（C）若),(yxf在D上一阶偏导存在，则),(yxf在D上一定连续；（D）若在D上xyf与yxf均连续，则),(yxfxy),(yxfyx。2下列级数中绝对收敛的级数是（）（A）12)1(nnnn；（B）1)11ln(nn;（C）11sin)1(nnn;（D）11)1(nnnn。3直线过点)03,0(且与直线zyx垂直相交，则交点的坐标是（）（A）)1,2,2(；（B）)1,1,1(；（C）)2,1,1(；（D）)0,0,0(。4方程08422xzy表示。(A)单叶双曲面；（B）双叶双曲面；（C）锥面；（D）旋转抛物面。5一阶微分方程0)(332dyyxydxx的类型是（）（A）全微分方程；（B）可分离变量方程；（C）齐次方程；（D）一阶线性微分方程。三(6)设)(rfu是具有二阶连续导数的函数，222zyxr，求22xu。6四（7）计算DdyxI22，其中D是直线xyx,2及双曲线1xy所围区域。五（7）修建一个容积为V的长方体地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积造价分别是地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计仓库的长、宽和高，可使它的造价最小。六（7）求微分方程)3(2xeyyx的通解。七（7）计算zdvI，其中是由曲面224yxz及zyx322所围的空间区域。八（7）求Lyxdyyxdxyx22)()(，其中L是曲线122yx，取逆时针方向。九(7）计算曲面积分dSzxy)coscoscos(222，其中是锥面22yxz介于1,0zz之间的部分，而cos,cos,cos是在),,(zyx处的外法线向量的方向余弦。十（7）已知如下命题成立：设na是单调减少的正数列，级数1nna收敛当且仅当122nkka收敛。⑴请用此命题证明11npn当10p时发散，而当1p时收敛；⑵证明所给的命题。2006级（下）B卷一填空（每小题3分，共15分）1设yxyz2)tan(，则__________________dz。2方程yxdxdy的满足1)0(y的特解为__________________。3曲线teztytx,sin,cos在)1,0,1(点的切线方程为____________。4幂级数13)2(nnnnx的收敛域为_____________。5设)(xf是周期为2的函数，且),[,2)(xxxf，其Fourier级数为10)sincos(2nnnnxbnxaa，则_________3a（要计算出结果）。7二选择（每小题3分，共15分）1若caba且0a，则必有___________。（A）cb；（B）cb；（C）ajcPrbjcPr；（D）cjaPrbjaPr。2下列命题正确的是（）。（A）若1nna发散,则必有0limnna；（B）若1nna收敛,1nnb发散,则1)(nnnba必发散；（C）若1nna部分和数列nS有界,则1nna必收敛；（D）若1nna绝对收敛,则1nna条件收敛。3对于),(yxfz，如果在区域D上_________，则),(yxfz的全微分存在。（A）yxff,存在；（B）),(yxf连续且yxff,存在；（C）yxff,存在且连续；（D）以上答案都不对。4设是由球面222yxaz和0z所围的空间区域，则________)(222dvzyx（A）200220adrrdd；（B）200420sinadrrdd；（C）dva2；（D）20040sinadrrdd。5方程xeyyyxsin22