ECM与VAR模型精讲

§4.3协整与误差修正模型一、长期均衡关系与协整二、协整检验三、误差修正模型一、长期均衡关系与协整（EquilibriumandCointegration）问题的提出经典回归模型（classicalregressionmodel）建立在平稳数据变量基础上，对于非平稳变量，不能使用经典回归模型，否则会出现虚假回归等诸多问题。但许多经济变量是非稳定的。如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的（cointegration)，则可以使用经典回归模型方法建立回归模型。经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述：1.长期均衡01tttXY式中：t是随机扰动项。该均衡关系意味着：给定X的一个值，Y相应的均衡值也随之确定为0+1X。在t-1期末，存在下述三种情形之一：（1）Y等于它的均衡值：Yt-1=0+1Xt-1；（2）Y小于它的均衡值：Yt-10+1Xt-1；（3）Y大于它的均衡值：Yt-10+1Xt-1；在时期t，假设X有一个变化量Xt，如果变量X与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，则Y的相应变化量由式给出：tttvXY1式中，vt=t-t-1如果Yt=0+1Xt+t正确地提示了X与Y间的长期稳定的“均衡关系”，则意味着Y对其均衡点的偏离从本质上说是“临时性”的。因此，一个重要的假设就是：随机扰动项t必须是平稳序列。显然，如果t有随机性趋势（上升或下降），则会导致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被消除。式Yt=0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非均衡误差（disequilibriumerror），它是变量X与Y的一个线性组合：01tttYX(*)因此，如果Yt=0+1Xt+t式所示的X与Y间的长期均衡关系正确的话，(*)式表述的非均衡误差应是一个平稳时间序列，即是具有0均值的I(0)序列。从这里看到，非平稳的时间序列，它们的线性组合也可能成为平稳的。例如：假设Yt=0+1Xt+t式中的X与Y是I(1)序列，如果该式所表述的它们间的长期均衡关系成立，则意味着由非均衡误差（*）式给出的线性组合是I(0)序列。这时称变量X与Y是协整的（cointegrated）。如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整，存在向量=(1,2,…,k)，使得Zt=XT~I(d-b)其中,b0,X=(X1t,X2t,…,Xkt)T,则认为序列{X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)阶协整，记为Xt~CI(d,b)，为协整向量。2.协整在中国居民人均消费与人均GDP的例中，该两序列是(2,2)阶协整。如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不能协整。三个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可能经过线性组合构成低阶单整变量。例如，如果存在：)2(~),2(~),1(~IUIVIWttt并且~(1)~(0)ttttttPaVbUIQcWePI那么认为：)1,1(~,)1,2(~,CIPWCIUVtttt（d,d）阶协整的经济意义在于：两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但是如果它们是（d,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。例如：中国CONSP和GDPP都是2阶单整，如果它们是(2,2)阶协整，说明它们之间存在着一个长期稳定的比例关系，建立如下居民人均消费函数模型：从协整的定义可以看出：01ln()ln()tttCONSPGDPP则变量选择是合理的，随机误差项一定是“白噪声”（即均值为0，方差不变的稳定随机序列），模型参数有合理的经济解释。1.两变量的Engle-Granger检验Engle和Granger于1987年提出了检验两I(1)序列Yt与Xt是否为协整关系的两步检验法，称为EG检验。第一步，用OLS方法估计Yt=0+1Xt+t并计算非均衡误差，得到：01ˆˆˆˆˆtttttYXeYY称为协整回归(cointegrating)或静态回归(static-regression)。二、协整检验第二步，检验的单整性。如果为平稳序列，则认为变量Yt,Xt为(1,1)阶协整；否则Yt,Xt不存在协整关系。ˆteˆte的单整性的检验方法仍然是DF检验或者ADF检验。如使用模型1：tpiititteee11检验拒绝零假设H0：=0，意味着误差项et是平稳序列，从而说明X与Y间是协整的。ˆte注意：这里的DF或ADF检验是针对协整回归计算出的误差项，而非真正的非均衡误差t进行的。因此估计量是向下偏倚的，这将导致拒绝零假设的机会增大。MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检验的临界值。ˆte例：检验中国居民人均消费水平CONSP与人均国内生产总值GDPP的协整关系。已知consp与gdpp都是I(2)序列，且回归式为：49.7641060.45831ttconspgdppR2=0.9981对该式计算的残差序列作ADF检验，得适当检验模型：113ˆˆˆˆ1.551.492.27tttteeee（-4.47）(3.93)(3.05)LM(1)=0.00LM(2)=0.00t=-4.47-3.75=ADF0.05，拒绝存在单位根的假设，残差项是稳定的，因此中国居民人均消费水平与人均GDP是(2,2)阶协整的，说明了该两变量间存在长期稳定的“均衡”关系。对于多变量的协整检验过程，基本与双变量情形相同，即需检验变量是否具有同阶单整性，以及是否存在稳定的线性组合。在检验是否存在稳定的线性组合时，需通过设置一个变量为被解释变量，其他变量为解释变量，进行OLS估计并检验残差序列是否平稳。如果不平稳，则需更换被解释变量，进行同样的OLS估计及相应的残差项检验。当所有的变量都被作为被解释变量检验之后，仍不能得到平稳的残差项序列，则认为这些变量间不存在（d,d）阶协整。检验程序：2.多变量协整关系的检验—扩展的E-G检验注意：(1)作为对非平稳变量之间关系的描述，协整向量是不惟一的；(2)协整变量必须具有相同的单整阶数；(3)最多可能存在k-1个线性无关的协整向量(Y的维数是k)；(4)协整变量之间具有共同的趋势成分，在数量上成比例。对于非平稳时间序列，一种是通过差分的方法将其化为平稳序列，然后才可建立经典回归分析模型。例如，建立人均消费水平（Y）与人均可支配收入（X）之间的回归模型：1.误差修正模型的提出及概念tttXY10tttvXY1式中，vt=t-t-1差分X,Y成为平稳序列建立差分回归模型如果Y与X具有共同的向上或向下的变化趋势三、误差修正模型(1)如果X与Y间存在着长期稳定的均衡关系：Yt=0+1Xt+t且误差项t不存在序列相关，则差分式Yt=1Xt+t中的t是一个一阶移动平均时间序列，因而是序列相关的；这种做法会引起两个问题：(2)如果采用差分形式进行估计，则关于变量水平值的重要信息将被忽略，这时模型只表达了X与Y间的短期关系，而没有揭示它们间的长期关系。因为，从长期均衡的观点看，Y在第t期的变化不仅取决于X本身的变化，还取决于X与Y在t-1期末的状态，尤其是X与Y在t-1期的不平衡程度。例如，使用式Yt=1Xt+t回归时，很少出现截距项显著为零的情况，即我们常常会得到如下形式的方程：在X保持不变时，如果模型存在静态均衡（staticequilibrium），Y也会保持它的长期均衡值不变。但如果使用（*）式，即使X保持不变，Y也会处于长期上升或下降的过程中(Why?)，这意味着X与Y间不存在静态均衡。这与大多数具有静态均衡的经济理论假说不相符。由此，简单差分不一定能解决非平稳时间序列所遇到的全部问题，因此，误差修正模型便应运而生。010ˆˆˆ0tttYXv(*)误差修正模型（ErrorCorrectionModel，简记为ECM）是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的主要形式是由Davidson、Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，称为DHSY模型。Yt=0+1Xt+t由于现实经济中X与Y很少处在均衡点上，因此实际观测到的只是X与Y之间的短期的或非均衡的关系，假设具有如下(1,1)阶分布滞后形式：第t期的Y值，不仅与X的变化有关，而且与t-1期X与Y的状态值有关。01211tttttYXXY由于变量可能是非平稳的，因此不能直接运用OLS法。对上述分布滞后模型适当变形得：tttttttttXYXYXXY12101111211011)1()1()(或tttttXYXY)(11011（**）（**）式表明：Y的变化决定于X的变化以及前一时期的非均衡程度。同时，（**）式也弥补了简单差分模型式Yt=1Xt+t的不足，因为该式含有用X、Y水平值表示的前期非均衡程度。因此，Y的值已对前期的非均衡程度作出了修正。式中，001121,(1),()(1)称为一阶误差修正模型(first-ordererrorcorrectionmodel)。（**）式可以写成：知，一般情况下||1，由关系式=1-得01。可据此分析ecm的修正作用：tttecmXY1（***）其中：ecm表示误差修正项。由分布滞后模型：tttttYXXY11210(1)若(t-1)时刻Y大于其长期均衡解0+1X，ecm为正，则(-ecm)为负，使得Yt减少；(2)若(t-1)时刻Y小于其长期均衡解0+1X，ecm为负，则(-ecm)为正，使得Yt增大。（***）体现了长期非均衡误差对Yt的控制。tttttXYXY)(11011（**）注意：在实际分析中，变量常以对数的形式出现。于是：(1)长期均衡模型：Yt=0+1Xt+t中的1可视为Y关于X的长期弹性(long-runelasticity)(2)短期非均衡模型：Yt=0+1Xt+2Xt-1+Yt-1+t中的1可视为Y关于X的短期弹性(short-runelasticity)例如具有季度数据的变量，可在短期非均衡模型Yt=0+1Xt+2Xt-1+Yt-1+t中引入更多的滞后项。更复杂的误差修正模型：引入二阶滞后的模型为：tttttttYYXXXY2211231210经过适当的恒等变形，得如下二阶误差修正模型：tttttttXYXXYY)(110113112(*)引入三阶滞后项的误差修正模型与（*）式相仿，但模型中多出差分滞后项Yt-2，Xt-2。式中，120011231,,()多变量的误差修正模型也可类似地建立：如三个变量如果存在如下长期均衡关系：tttZXY210则其一阶非均衡关系可写成：tttttttYZZXXY12211210则它的一个误差修正模型为：tttttttZXYZXY)(12110111式中，001122121,,(),()如果变量X与Y是协整的，则它们之间的短期非均衡关系总能由一个误差修正模型表述：1(,)tttYlaggedYX01（*）式中，t-1是