自动控制原理

第三章控制系统的时域分析方法3.1引言3.1.1典型输入信号1.阶跃函数2.斜坡函数为单位阶跃函数,1)0(0)0()(1)(RsRtttRtr为单位斜坡函数,1)0(0)0()(2RsRtttRtr3.加速度函数4.正弦函数为单位加速度函数,2/12)0(0)0()(32RsRtttRtr为角频率。为振幅或幅值，AtAtrsin)(5.单位脉冲函数与单位冲激函数单位冲激函数的性质),0(0)0(/1)(htththth1)]([L1)d()()()(lim0tδtttthh及)()d()()()0()d()()(00tfttttfftttf3.1.2单位冲激响应输入信号R(s),输出信号C(s),传递函数G(s)对取拉氏反变换，由卷积定理可得)()]([L)(1)](L[)s(),()()()()(1tgsGtcG(s)C(s)tRttrsRsGsC则若)()()(sRsGsCttrtgtrgtrtgtc00d)()(d)()()()()(3.1.3系统的时间响应根据拉氏变换理论，C(s)的极点与c(t)有下述关系输入信号是R(s),输出信号是C(s),零初始条件有C(s)=G(s)R(s)与传递函数极点对应的输出称为瞬态响应，与输入信号极点对应的输出称为稳态响应。传递函数零点不形成新的模态，但影响模态前的系数。系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入响应的导数；系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入响应的积分。。tketmmetktkk)(121)sin(tket)]sin()sin()sin([12211mmmtttkttktke极点运动模态实数单极点m重实数极点σ一对复数极点σ+jωm重复数极点σ+jω3.1.4时间响应的性能指标1）上升时间；2）峰值时间；3）最大超调（量）4）过渡过程时间5）振荡次数Nrtptp%100)()()(cctcppst，稳态动态；sstttt,3.2一阶系统时域分析输入信号r(t)与输出信号c(t)的关系用一阶微分方程表示的称为一阶系统常见的温度控制系统和液压控制系统中的控制对象都是一阶系统。11R(s)C(s)(s))()(ddc(t)TstrtctT3.2.1一阶系统的单位阶跃响应设r(t)=1(t),R(s)=1/s。于是有单位阶跃响应的典型数值T为时间常数，1/T为初始斜率11111)()()(TsTssTssRssC01)()()(tetctctcTtts1)(,982.01)4(,95.01)3(865.01)2(,632.01)(,01)0(43210ceTceTceTceTcec11)0(0TeTctTt3.2.2一阶系统的单位斜坡响应令r(t)=t,则有可求得输出信号的拉氏变换式系统的误差信号ｅ(t)为2/1)(ssR11111)(222TsTsTssTssC0)()()()(tTeTttctctcTtts是瞬态分量。是稳态分量，Ttte)()()(TtcTttcs)1()()()(TteTtctrte3.2.3单位冲激响应单位冲激响应中只有瞬态响应。)0(e1)11()()(11)(1)()()(1tTTsLtctgTssCsRttrTt3.3二阶系统的时域分析3.3.1二阶系统的典型形式典型形式222222)()()()()(2)(nnnnnnsssRsCtrtctctcKTTKn21,10222,122nnnnsss1.欠阻尼（0ζ1）2.临界阻尼（ζ=1）3.过阻尼（ζ1）4.无阻尼（ζ=0）22,11nnjsns2,1122,1nnsnjs2,13.3.2二阶系统的单位阶跃响应令r(t)=1(t),则有R(s)=1/s1.欠阻尼状态（0ζ1）)]([)(12)(1222sCLtcssssCnnn)0()sin1(cose1sinecose1)(1)()(1))((21)(222222ttttttcssssjsjssssCddtdtdndtnddnddndnndndnnnnn222222122)sin(1e)(,1)(arccos1arctan)0()sin(1e1)sincos1(1e1)(ndddttsdtddtTttctctttttcnnn2.无阻尼状态（ζ=0）3.临界阻尼（ζ=1）0cos1)(tttcn)0(te)1(1)(1)(1)()(222tnnnnnnnttcssssssC4.过阻尼（ζ1）nnss)1()1(2221)1(121)1(121)()(11))(()(22222122112121AAssAssAsssssssssC，式中ee121ee1)(212212121ssAAtctstsntsts3.3.3二阶欠阻尼系统的动态性能指标1.上升时间的计算rt2rd2nr2221)tan(ttan1ttan0sin1cos0e0sin1cose1sin1cose1)(1)(ndrdnndrdrdtrdrdtrdrdtrrrttttttttctcttrnrnrn或所以，因为即时，当2222)()(nnnsssRsC2.峰值时间的计算ptdndppdpdpdpdpdtdpdtnttTtttttttttcpp211,3,2,,0tan)tan()cos(1)sin(0)cos(1e)sin(1e0d)(d222-2-nn03.最大超调（量）的计算4.过渡过程时间的计算pcot1/22e%100e%100sin1cose%100sin1cose)()()(2ptpdpdtpppnpnttcctc即st;4%2;3%511ln1ln1;1e1e1)(222nsnsnsttttttcsnn内，位于响应曲线包络线5.振荡次数N的计算5%)(ln5.12%);(ln21lne,11.5N3%512N4%2221/222ppppppnsnspsdsNNNttttTtN的关系为与即若已知则有时，当则有时，当3.3.4二阶系统的计算举例例3-3-1%)5(6.0785.0212;%)2(8.0785.0233.12t%)2(33.14%);5(13%5.9%100e%100e785.0414.30.55s40.930.93rad0.80.6arctan1arctan356.048.051,8.06.011:,,,),(1)(rad/s50.6ss8.06.014.31pd22222ppnsnsdprnndpsprnttNtNstststtNtttttr，，，解。和求。，中二阶系统如图所示，其例3-3-2要求系统性能指标为值。及并计算值值和确定NttKKsrA,,。stpp1%,202.12s48.24%2;93.02s86.13%5s65.01.11arctanarccos,1178.0125.1253.3)1(2,2)1()()(rad/s53.3110.45661.12.01ln1ln1,e22222222222212psnspsnsrnrnAnAnnnnnApnnpppttNtttNttradtKKKKKKssKsKKsKsRsCtt解例3-3-3根据过渡过程曲线确定质量M、黏性摩差系数f和弹簧刚度K的值。Ns/m18078/96.16.02/2kg7896.1/300/rad/s1.962,6.0095.0/m30001.0331lin)(lin)(lin)(31)(,)(13)(/2,/,/)/(/11)()(dddd0.01m)(lin)(,s2,095.022pp200t222222tffMfMMMKtNKKsKfsMsssXstxxsKfsMssXttpMfMKMKsMfsMKKKfsMssPsXPKxtxftxMtxxtnnnssnnpp时当。解3.3.5二阶系统的单位冲激响应]e[e12)()(1e)()(1sin)()(01sine1)()(102)(1)(),()()1()1(222222222ttntnnnntnnnnnnnntctgttctgttctgttctgsssCsRttr3.3.6二阶系统的单位斜坡响应21arctan21212arctan1212arctansin1e2sin112cos2e2)(2)12()(22s1C(s)10.112)(1)(,)(22222222222222222ttttttcssssssssCssRttrdntndndntnnnnnnnnnnntntnntnnnnnnnnnnnnnttctttcsssCssssCssRttr)1(222)1(222222222222e121212e1212122)(13e2122)(2)(12s1(s)1.212)(1)(,)()2/(2)(lim)()(2)()()()()()(0)(lim)(,2)(nnttntstttnsKteetctctctrtctrtetccttc3.3.7初始条件不为零时二阶系统的时间响应