N-第9章-机械结构的动力有限元(li-10.24)

第九章机械结构的动力有限元第9章机械结构动力学分析的有限元法对于机械结构的动力学分析问题，有限元法也是非常有效的数值计算工具。其主要过程为：首先进行每个单元的特性分析，包括进行单元刚度矩阵、单元质量矩阵的计算、单元阻尼矩阵的计算，再把各个单元的特性矩阵组集起来，组成结构的总刚度矩阵、总质量矩阵和总阻尼矩阵，从而形成整个结构的动力学方程，之后再进行求解。本章概述本章主要介绍机械结构动力学的有限元方法，然后介绍利用有限元求解机械结构的固有动特性、分析典型工况下的动态响应，并给出了应用举例。9.1机械结构的动力学有限元方程δMC机械结构的静力学及动力学有限元方程(9.1)(9.2)KδFMδCδKδF整个结构节点位移向量，常值（静力学），随时间变化（动力学）总刚度矩阵总阻尼矩阵总质量矩阵节点载荷向量KF引入约束条件，求固有特性，求振动响应均为大型带状稀疏矩阵9.2单元质量矩阵和单元阻尼矩阵(9.18)在有限元动力学分析中，单元质量矩阵、单元阻尼矩阵与单元刚度矩阵都是十分重要的。为了更好地理解单元质量矩阵和单元阻尼矩阵，以下做进一步的解释。如下式所表达的单元质量矩阵又称为单元协调质量矩阵或单元一致质量矩阵：单元协调质量矩阵采用了与推导单元刚度矩阵一致的形函数矩阵。TdeeVVmNN9.1.3单元质量矩阵和单元阻尼矩阵(9.19)计算得到平面三角形常应变单元的协调质量矩阵的具体表达式为20101002010110201001020112101020010102etm9.1.3单元质量矩阵和单元阻尼矩阵(9.20)对于等参数单元，设其形函数矩阵为，单元协调质量矩阵的表达式为在有限元动力学计算中，还经常采用单元集中质量矩阵的形式。即假设单元的质量分散在单元的所有节点上，即把每个单元的分布质量按静力学的平行分解原理分配到每个节点上，形成一个阶数等于单元自由度数的主对角线质量矩阵，其它非主角线元素均为0。例如，对于平面三角形常应变单元，其单元集中质量矩阵为111111||dddeTmNNJ9.1.3单元质量矩阵和单元阻尼矩阵(9.21)1000000100000010000001003000010000001etm对于前面所述的单元阻尼矩阵即单元协调阻尼矩阵，TdeeVvVcNN(9.22)9.1.3单元质量矩阵和单元阻尼矩阵它取决于假设阻尼力正比于质点运动速度，即通常的粘性阻尼假设。除了这种形式的单元阻尼矩阵之外，在有限元动力学分析中，还经常采用另外一种形式的比例阻尼，即采用单元质量矩阵和单元刚度矩阵的线性组合作为单元阻尼矩阵，如下式其中，是不依赖于频率的常数，称为比例阻尼系数。比例阻尼又称为瑞利阻尼（Rayleighdamping）。(9.23)eeecmk9.3机械结构固有特性的有限元分析(9.30)不考虑阻尼项及激振力项，机械结构的动力学方程为()()0ttMδ+Kδ=它的解可以假设为以下形式0sin()ttδφ(9.31)其中，是n阶向量，是振动圆频率，t是时间变量，t0是由初始条件确定的时间常数。将式(9.30)代入式(9.31)，得到如下特征方程（即广义特征值问题)20KφMφ或2[]0KMφ(9.32)φ[v,d]=eig(k,m);%eig求部分特征值vd均为方阵d对角线即是固有频率9.4机械结构的动力学响应分析通常把结构动力分析分为结构的瞬态响应分析和结构的谐振响应分析。动力响应问题就是求解动力学方程(9.29)，即在激振力的作用下，求出作为时间或频率的函数的位移。模态叠加法直接积分法中心差分法Newmark积分法9.5应用举例12345678910112132415161718191响应提取点这里将薄板划分为100个均等单元，共121个节点，见图3（a），节点编号和单元编号都是从上至下，从右至左依次增大。9.5应用举例05001000150020001010MATLABANSYS210410610810频率（Hz）响应（）μm