第四章习题解答[1]

《电场和磁场》部分习题参考答案14．1两个点电荷所带电量总和为q，问它们各带电多少时，相互之间的作用力最大？解：设一个电荷的电量为Q，则另一个电荷的带电量为q-Q，两电荷的相互作用力为20)(41rQqQF当作用力达到最大值时，有0dQdF，得2qQ所以最大作用力为220161rqF式中的r为两点电荷之间的距离。4．2若电量q均匀分布在长为L的细棒上，求棒的延长线上离棒的中心为a处的场强？解：以棒中点为坐标原点，建立坐标，取电荷元dx,其带电量为dxLqdq在所求点P的电场强度为2020)(4)(4xaLqdxxadqdEP点的总电场强度为（所有电荷元产生的电场强度方向一致向外）)2)(2(4)(40222022LaLaqxaLqdxdEELLLL3如图所示，一根细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形。沿其上半部均匀分布+Q的电荷，下半部均匀分布-Q的电荷，求圆心P处的电场强度。解：建立坐标如图，任取电荷元dq和与其对称的电荷元qd，两电荷元P点产生的电场强度大小都为2022024RQdRdqdE在y轴上的分量都为cos2cos420220RQdRdqdEy所以P点的合场强为20220202cos22RQRQdE4.5如图所示,一宽度为b的薄长金属板,其电流为I,试求在薄板的平面上,距板的一边为d的《电场和磁场》部分习题参考答案2点P的磁感应强度?解:设电流在薄板上均匀分布,取宽度为dx的元电流,其电流强度为dxbIdI0由无限长载流直导线的磁感应强度公式可得,该元电流在P点产生的磁感应强度为)(2)(2000xbdbdxIxbddIdB磁感应强度的方向垂直纸面向里.考虑到所有元电流在P点产生的磁感应强度方向相同,所以,P点的磁感应强度的大小为dxxdbbIdBBb000)(2ddbbIln2004．6如图所示，厚度为b的“无限大”均匀带电平板，其点电荷密度为，求板外任意点的电场强度。解：对于无限大的均匀带电平板，其电场强度分布具有平板对称性，即电场强度的方向垂直于平板，左右对称，且与y轴等距离的点电场强度大小相等（参看例题4.6），我们可以用高斯定理来求解本题。作左右对称的圆柱面为高斯面，圆柱的侧面垂直于平板，底面与平板平行，根据高斯定理02qESSdES对于平板内的一点P（如示意图中的曲面2）,有)2(xSq其中，x为底面到y轴的距离，所以0)2(2xSESxE0《电场和磁场》部分习题参考答案3对于平面外的一点P（如示意图中的前1），有Sbq代入得02bE4.7如图所示，带电量为q的点电荷处在导体球壳的中心，球壳内、外半径为R1和R2，求球壳外、球壳上任一点的电场强度和电势。解：根据高斯定理和静电平衡条件可得，导体壳内表面的带电量为q，外表面的带电量为q，则点电荷q产生的电场强度和电势为251014,4rqErqU球壳内表面的电荷产生的电场和电势为2020214,4U:rqErqRr0,4U:21021ERqRr球壳外表面的电荷产生的电场强度和电势为2030324,4U:rqErqRr0,4U:32032ERqRr根据叠加原理可得总电场和电势为20321032124EE,4UUU:rqEErqURr0EE,4UUU:3212032112EERqURrR203212010032114EE,444UUU:rqEERqRqrqURr4．8如图所示，半径为R1的导体球带电量为q，球外套以内、外半径分别R2和R3的同心导体球壳，球壳的带电量为Q。（1）求球和球壳的电势；（2）球与球壳间的电势差；《电场和磁场》部分习题参考答案4解：整个带电体系可分为三个均匀带电球面的叠加，分别为：半径为R1的均匀带电平面，带电量为q;半径为R2的均匀带电球面，带电量为-q；半径为R3的均匀带电球面，带电量为q+Q;根据均匀带电球面的电势公式可得三个带电体的电势分别为：10110114URr,4U:RqrqRr：时时20220224URr,4U:RqrqRr：时时30330334URr,4U:RQqrQqRr：时时由叠加原理可得，导体球（rR1）的电势为:302010321444RQqRqRqUUUUq球壳（R2rR3）的电势为3030003214444RQqRQqrqrqUUUUk球与球壳的电势差：201044RqRqQUQkqkq4.9如图所示,在磁感应强度为B的均匀磁场中,有一半径为R的半球面,B与半球面轴线夹角为α,求通过该半球面的磁通量。解：用一圆平面将半球面构成一个闭合曲面，由磁场的高斯定理可得，通过整个闭合曲面的磁通量为零，即0圆面半球所以cosR-Bcos2BS圆面半球4-10如图所示的电缆，由半径为r1的导体圆柱和同轴的内、外半径分别为r2和r3的导体圆筒构成，电流I0从导体圆柱流入，从导体圆筒流出。设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，以r表示到轴线的垂直距离。试求r从0到∝的范围内各处的磁感应强度。解：电缆电流具有圆柱对称性，所以其产生的磁场也应该具有圆柱对称性，磁力线为与圆柱同心的圆。根据磁场的环路定理有：ilIldB0《电场和磁场》部分习题参考答案5若选择沿磁力线的同心圆为积分回路，则回路上各点的磁感应强轻度都相同，上式可化简为illIrBBdlldB02式中r为回路半径，所以rIBi20其中iI为积分回路所包围的电流强度。如图所式，当1Rr（图中积分回路1）时，210022102,RrIBrRIIi当12RrR（图中积分回路2）时，rIBIIi2,000当23RrR（图中积分回路3）时，2223223002222223002),()(RRrRrIBRrRRIIIi当3Rr（图中积分回路4）时，0,0BIi4．11如图所示，一根半径为R的无限长载流直导体，其中电流强度I沿轴向流过，并均匀分布在横截面上，现在导体中有一半径为的圆柱形空腔，其轴与直导体的轴平行，两轴相距为d，试用安倍环路定理求空腔中心的磁感应强度。你能证明空腔的磁场是均匀磁场吗？解：空腔中无电流，在物理中，无电流也可以看作由强度相等但方向相反的两个电流的合成，若将大圆柱体补偿成一个完整电流，则小圆柱体的电流为22RRII在空腔中任选一点P,由上题的结论可得，圆柱体的电流在P点产生的磁感应强度为202RIrB方向垂直于r（如图所示）。空腔的补偿电流在P点产生的磁感应强度为202022RrIRrIB方向垂直于r(如图所示)，B点的合磁场为PB，可《电场和磁场》部分习题参考答案6用平行四边形法则求得。可以证明:OPO∽BPBP由于相似三角形对应边城比例，所以有rdBBP即202RIdBP由于,,rBrB所以有OOBP即合磁场的方向始终一定，由于合磁场的大小也是一定的。由于P点是任意取的，所以空腔内所有点的磁场都是一样的，空腔中心的磁场也是这个值。4-12．测定离子质量的质谱仪如图4.41所示，离子源S产生质量为m，电荷为q的离子，离子得出速度很小，可以看作静止。经电势差为U的电场加速后，离子进入磁感应强度为B的均匀磁场中，并沿一半圆形轨道到达离入口处距离为x的感光板上。试证明离子的质量为228xUqBm。解：根据动能定理得221mqU所以mqU2（1）由于洛伦兹力等于向心力，所以222xmRmBq将（1）式代入可得228xUqBm4．13如图所示，半径为mR1.0的导体球带有电荷CQ8100.1，导体外有两层均匀介质，一层介质0.5r，厚度为md10.0。另一层介质为空气，充满其余空间。求：（1）离球心cmr5处的D和E;（2）离球心cmr15处的V;(3)极化电荷面密度；解：（1）当r=5cm时，该点在导体求内部，由于电荷只能分布在导体的表面，导体内部的电场强度为零，所以《电场和磁场》部分习题参考答案70;00EDEr（2）当导体球外无介质时，由均匀带电球面外电场强度公式可得（相当于点电荷）20041rQE当有电介质时200041rQEErrR=15cm处的电势为VdRQdRrQdrrQdrrQdrEEdlEdlldEUrdRdRrrdRdRrrr48014)11(4440020200（3）设在介质内表面出现的极化的电荷为Q，则外表面的极化电荷为Q，内表面极化电荷在介质内部激发的电场为2041rQE则介质内部的场强为（4.39式）rEEE00代入202020444rQrQrQr所以CQQr8108.0)11(介质内表面的极化电荷面密度为2821037.64mCRQin介质外表面的极化电荷面密度为2821059.1)(4mCdRQout4.15一空气平行板电容器,平板面积为S,两板相距为d,充了电荷q以后,把电源撤去,求两板间电荷相互作用力等于多少?解:电容器两板的电荷面密度为《电场和磁场》部分习题参考答案8sq由例题4.6可得,一个极板在另一个极板处产生的电场强度为SqE0022另一极板受到的静电场力(两板的相互作用力)为SqqEF0224.16一导体求的的半径为R1,外罩一半径R2的同心导体球壳,外球壳所带的总电荷为Q,而内球的电势为V0,求此球壳的电势和电场分布。解:设内金属球的带电量为q,均匀分布在导体球.的表面.由于电荷分布具有球对称的特点,所以电场分布也具有求对称,应用高斯定理可求得电场分布为20220124E:4:rQqRrrqERrR(1)由电势定义式可得,导体球的电势为drrqQdrrEdrldEVRRRq22111120RR2044q0202104)11(4VRqQRRq所以,内球的带电量为210104RQRVRq代入(1)式可得电场强度分布为20210102200211244E:)4(:rQQRRVRRrRQVrRERrR球壳的电势为2021010k44VRQQRRVR4.17在空间又互相垂直的均匀电场E和均匀磁场B，磁场沿x轴方向，电场沿Z轴方向，《电场和磁场》部分习题参考答案9一电子开始时以速度沿y轴方向前进。问电子运动的轨迹如何？解：如果没有电场，电子将在洛伦兹力的作用下，在yoz平面内作匀速圆周运动，其运动半径为qBmR由于电场力的作用，圆周运动的圆心将沿x轴的负方向作初速度为零的匀加速运动，加速度为mqEa这就是电子的运动轨道。