基于状态空间方程的系统分析

1/18现代工程控制理论实验报告学生姓名：任课老师：学号：班级：2/18实验十五基于状态空间方程的系统分析摘要本次试验主要是基于状态空间表达式线性系统进行分析和设计，实验的具体内容如下（1）选取一典型对象，应用状态反馈的原理进行系统的极点配置，使得系统的输出满足一定的动态性能（2）对于以上系统，设计全状态观测的状态观测器；（3）对于以上系统，应用增广状态反馈的原理设计可以基于阶跃信号无差跟踪的控制系统；（4）类似于第三部分呢，设计基于斜坡信号的无差跟踪的控制系统。3/184/18目录摘要........................................................................................................................21、利用状态反馈原理进行极点配置.................................................................51.1状态反馈.................................................................................................51.2状态反馈进行极点配置的原理.............................................................51.3状态反馈进行极点配置的实例.............................................................62、状态观测器...................................................................................................102、1状态观测器的介绍............................................................................102.2为上述系统建立状态观测矩阵的程序如下.......................................123、增广状态反馈...............................................................................................143.1增广状态反馈简介...............................................................................143.2为上述系统加入增广状态反馈环节...................................................154实验总结..................................................................................................................175/181、利用状态反馈原理进行极点配置1.1状态反馈状态反馈是是指个将系统的所有状态变量通过比例环节反馈到输入端的一种反馈方式。如下图所示，在开环系统当中状态变量x通过增益大小为k的比例环节反馈到系统的输入端。这样的环节就称为状态反馈。1.2状态反馈进行极点配置的原理某系统的状态变量图如下从图中可以得到系统的状态空间表达式buAxxcxy引入状态反馈的系统图如下6/18因此系统的输入量Kxru。其中]...[21nkkkK。n表示状态变量的数量，也就是控制对象的阶次。r为系统的给定量。x为1n系统状态变量。u为11是开环系统的输入量，将其称作控制量。则引入状态反馈后系统的状态方程变为A'xxbu，而'AAbK系统的状态方程和系统的特征方程存在一定的关系，如下|A'|=0SI即是系统的特征方程由于'AAbK，因此调节状态反馈阵K的元素]...[21nkkk，就能实现闭环系统极点的任意配置。1.3状态反馈进行极点配置的实例设某无自衡对象的开环传递函数为5（10s+1）s。应用状态反馈原理进行极点配置使最终系统的输出满足超调量小于10%，过渡时间小于10s。解将该系统的状态变量图绘于下方7/180.5-0.1x2x11x2x-由此可以确定系统的空间方程112220010.50.10xxuxxyx设00A0.50.1，10b加入反馈装置后的方框图绘于下方。0.5-0.1x2x11x2x-k2k1此时12kA'=A-bK=0.50.1k系统要求超调量小于10%，过渡时间小于10s。由此可以设计出合适的主导极点。设主导极点的形式为21wnjwn，主导极点和系统品质衡量指标之间存在以下关系8/18214Mp=etswnπ稳定时间超调量设ts=10,Mp=10可以解得=0.59120.6766wn，。将其代入可以解得主导极点为-0.4+0.5458i和-0.4-0.548。正好两个极点，对应系统的阶次是2。如果对象的阶次高于2时，需要加入新的极点，作为非主导极点进入系统。这些非主极点的应该远离虚轴，实部应该是主导极点的5~10倍。借助matlab语句，k=place(a,b,J);可以得到加入的反馈环节的增益k1=0.4578,k2=0.7。整个过程对应的程序如下clearall;closeall;clc;num=[5];den=[1010];%[a,b,c,d]=tf2ss(num,den);r=ones(fix(50/0.1)+1,1);num1=num./den(1);den1=den./den(1);a=[01;0-den1(2)];b=[0;1];c=[num1(1)0];9/18d=0;%r=ones(fix(50/0.1)+1,1).*(k(1)/c(1));m=ctrb(a,b);n=rank(m);ts=10;fai=10;jieta=sol_jieta(fai);wn=sol_wn(ts,jieta);JR=-wn*jieta;JI=j*wn*sqrt(1-jieta^2);J=[JR+JIJR-JI];k=place(a,b,J);a1=a-b*k;b1=b;c1=c;d1=0;t=0:0.1:50;[y,t,x]=lsim(ss(a1,b1,c1,d1),r,t);plot(t,y);dd=Tvalue(y,0.1);legend(dd,4);得到的输出曲线为10/18稳定时间7.8s，超调量9.9957满足系统的要求。2、状态观测器2、1状态观测器的介绍利用状态反馈环节可以配置系统的闭环极点是系统的品质能够满足一定的要求。但是，状态反馈控制有一个很重要的前提——状态变量具有可观性。如果状态变量不可观，就找不到合适的位置引出反馈环节进行状态反馈控制。倘若状态变量真的无法直接观测，可以借助状态观测器解决上述问题。0102030405000.20.40.60.811.21.4ts=7.8,Mp=9.9957,FAI=0.99,tr=4,tp=5.9,ys=1.092111/18根据系统的外部变量（输入变量和输出变量）的实测值得出状态变量估计值的一类动态系统称为状态观测器，也称为状态重构器。状态观测器的方框图如下。BCABCkAH输入u=v-k^x有方框图可以得到原系统状态变量与观测到的状态变量之间建立联系^BuxAxBuAxBkx^^^^()()()xAxBuHyyABkHCxHxBu由上式减下式可得^^()(A)()xxHCxx矩阵HC-A称为系统矩阵，直接描述了状态观测矩阵的特性。12/182.2为上述系统建立状态观测矩阵的程序如下clearall;closeall;clc;%控制对象num=[5];den=[10010];%二阶无自衡对象num1=num./den(1);den1=den./den(1);a=[01;0-den1(2)];b=[0;1];c=[num1(1)0];d=0;m=ctrb(a,b);n=rank(m);%品质要求ts=10;fai=10;%主导极点jieta=sol_jieta(fai);wn=sol_wn(ts,jieta);JR=-wn*jieta;JI=j*wn*sqrt(1-jieta^2);J=[JR+JIJR-JI];%求得反馈系数Kk=place(a,b,J);L=k';r=1*k(1)/c(1);st=20;dt=0.01;lp=st/dt;13/18x=zeros(2,1);x1=zeros(2,1);t=[];Y=[];Y1=[];fori=1:lpE=(a-b*k)*x+b*r;x=x+E*dt;y=c*x;E=(a-b*k-L*c)*x1+b*r+L*y;x1=x1+E*dt;y1=c*x1;t=[ti*dt];Y=[Yy];Y1=[Y1y1];enddd1=Tvalue(Y,dt);dd1=['系统实际输出',char(13,10)',dd1];dd2=Tvalue(Y1,dt);dd2=['观测到的系统输出',char(13,10)',dd2];subplot(2,1,1);plot(t,Y,'b','linewidth',2);legend(dd1,4);gridon;subplot(2,1,2);plot(t,Y1,'r','linewidth',2)legend(dd2,4);gridon;得到的输出曲线如下14/18两条曲线几乎没有差别，说明状态观测器的输出挺接近真实值。3、增广状态反馈3.1增广状态反馈简介当全状态反馈控制闭环系统的稳态输出存在稳态误差，原有的状态反馈形式变无法继续。这个时候我们需要引入增广状态反馈。方框图如下所示：0246810121416182000.20.40.60.811.21.4系统实际输出ts=7.74,Mp=10.1041,FAI=0.9923,tr=3.89,tp=5.74,ys=1.00030246810121416182000.20.40.60.811.21.4观测到的系统输出ts=7.74,Mp=10.1222,FAI=0.99225,tr=3.89,tp=5.74,ys=1.000315/18增广状态反馈与普通状态反馈的区别在于，输入端即串入积分比例控制器。类似于PI控制器中的消除稳误差的积分作用，增广矩阵也是利用相同的原理来消除误差的。当阶跃信号y与系统的输出yr存在静态误差时，积分作用将误差进行累加，导致输入信号u不断改变。120()tuKxKed此时系统的输出y就不会保持不变，而是向着靠近yr的方向靠近，直至无差。3.2为上述系统加入增广状态反馈环节对应的程序如下。clearall;closeall;clc;16/18n=2;num=[5];den=[1010];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)m=ctrb(a,b);n=rank(m);ts=10;fai=10;jieta=sol_jieta(fai);wn=sol_wn(ts,jieta);JR=-wn*jieta;JI=j*wn*sqrt(1-jieta^2);Ahat=[azeros(n,1);-c0];Bhat=[b;0];Chat=[c0];J=[5*JRJR+JIJR-JI];Khat=place(Ahat,Bhat,J)K=Khat(1:n);Kl=Khat(n+1);a1=[a-b*K-b*Kl;-c0];b1=[zeros(n,1);1];c1=Chat;d1=0;t=0:0.1:90;[y,t,x]=step(ss(a1,b1