20202021学年高考数学考点第十二章坐标系与参数方程不等式选讲参数方程与普通方程的互化与应用理

1参数方程与普通方程的互化与应用1.必记的曲线参数方程已知条件普通方程参数方程经过点P(x0，y0)，倾斜角为α)(00xxkyyx＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(α为参数)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r22020)y-yx-xr（）（x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数)长半轴a和短半轴b椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)实轴a和虚轴b双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)x＝acosθ，y＝btanθ(θ为参数)已知p抛物线y2＝2px(p＞0)x＝2pt2，y＝2pt2.参数方程与普通方程的转化（1）参数方程转化成普通方程类型一：含t的消参思路：含有t的参数方程消参时，想办法把参数t消掉就可以啦，有两个思路：思路一：代入消元法，把两条式子中比较简单的一条式子转化成t=f(x)或t=f(y)，思路二：加减消元：让含有t前面的系数相同或成相反数后相加减。例如：曲线C：(t为参数）tytx2212222解：思路一：代入消元：∵x＝2＋22t，∴22t＝x－2，代入y＝1＋22t，得y＝x－1，即x－y－1＝0.思路二：加减消元：两式相减，x－y－1＝0.类型二：含三角函数的消参思路：三角函数类型的消参一般的步骤就是：移项-化同-平方-相加移项：把除了三角函数的其他相加减数字移动左边化同：把三角函数前面的系数化成相同平方：两道式子左右同时平方相加：平方后的式子进行相加（注：有时候并不需要全部步骤）例如：圆x＝1＋cosθ，y＝－2＋sinθ消参数θ，化为普通方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝1.解：移项：sin2cos1yx（三角函数前面系数已经相同，省去化同，直接平方）平方：2222sin2cos1）（）（yx相加：12)y1-x22（）（3.参数方程涉及题型（1）直线参数方程的几何意义（2）距离最值（点到点、曲线点到线、）距离的最值：---用“参数法”1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点：设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设②套公式：利用点到线的距离公式③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一直线参数方程的几何意义.经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为3为参数）ttyytxx(sincos00若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0=t1＋t22；(2)|PM|=|t0|=t1＋t22；(3)|AB|=|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|=|t1·t2|（5）0,0,4)(212121212212121ttttttttttttttPBPA当当（注：记住常见的形式，P是定点，A、B是直线与曲线的交点，P、A、B三点在直线上）【特别提醒】1.直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|=|t|.直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,tt，则弦长12ltt；2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t的一元二次方程：02cbtat第三步：韦达定理：acttabtt2121,第四步：选择公式代入计算。3.直线与两曲线分别相交，求交点间的距离：思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可。4.面积的最值问题：面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题1．（2020•上海）已知直线方程3410xy的一个参数方程可以是()A．13(14xttyt为参数）B．14(13xttyt为参数）C．13(14xttyt为参数）D．14(13xttyt为参数）【答案】B4【解析】13(14xttyt为参数）的普通方程为：1314xy，即4310xy，不正确；14(13xttyt为参数）的普通方程为：1413xy，即3410xy，正确；13(14xttyt为参数）的普通方程为：1314xy，即4310xy，不正确；14(13xttyt为参数）的普通方程为：1413xy，即3470xy，不正确；故选B．2．（2019•北京）已知直线l的参数方程为13,(24xttyt为参数），则点(1,0)到直线l的距离是()A．15B．25C．45D．65【答案】D【解析】由13(24xttyt为参数），消去t，可得4320xy．则点(1,0)到直线l的距离是22|41302|654(3)d．故选D．3．（2019•天津）设aR，直线20axy和圆22cos,(12sinxy为参数）相切，则a的值为__________．【答案】34【解析】aR，直线20axy和圆22cos,(12sinxy为参数）相切，圆心(2,1)到直线20axy的距离：2|212|21adra，解得34a．故答案为：34．54．（2020•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为222,(23xtttytt为参数且1)t，C与坐标轴交于A，B两点．（1）求||AB；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．【解析】（1）当0x时，可得2(1t舍去），代入223ytt，可得26412y，当0y时，可得2(1t舍去），代入22xtt，可得2244x，所以曲线C与坐标轴的交点为(4,0)，(0,12)，则22||(4)12410AB；（2）由（1）可得直线AB过点(0,12)，(4,0)，可得AB的方程为1124yx，即为3120xy，由cosx，siny，可得直线AB的极坐标方程为3cossin120．5．（2020•新课标Ⅱ）已知曲线1C，2C的参数方程分别为2124,:(4xcosCysin为参数），21,:(1xttCtytt为参数）．（1）将1C，2C的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设1C，2C的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．【解析】（1）曲线1C，参数方程为：224,(4xcosysin为参数），转换为直角坐标方程为：40xy，所以1C的普通方程为4(04)xyx剟．曲线2C的参数方程：1,(1,xtttytt①②为参数）．所以①2②2整理得直角坐标方程为22144xy，6所以2C的普通方程为224xy．（2）法一：由224144xyxy，得5232xy，即P的直角坐标为53(,)22．设所求圆的圆心的直角坐标为0(x，0)，由题意得220059()24xx，解得01710x，因此，所求圆的极坐标方程为17cos5．法二：由224144xyxy，整理得41xyxy，解得：5232xy，即53(,)22P．设圆的方程222()xayr，由于圆经过点P和原点，所以2222253()()22arar，解得21710289100ar，故圆的方程为：2217289()10100xy，即221705xyx，转换为极坐标方程为17cos5．6．（2020•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为,(kkxcosttysint为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4cos16sin30．（1）当1k时，1C是什么曲线？（2）当4k时，求1C与2C的公共点的直角坐标．【解析】（1）当1k时，曲线1C的参数方程为cossinxtyt，(t为参数），消去参数t，可得221xy，故1C是以原点为圆心，以1为半径的圆；（2）法一：当4k时，414:xcostCysint，消去t得到1C的直角坐标方程为1xy，2C的极坐标方程为4cos16sin30可得2C的直角坐标方程为41630xy，7141630xyxy，解得1414xy．1C与2C的公共点的直角坐标为11(,)44．法二：当4k时，曲线1C的参数方程为44xcostysint，(t为参数），两式作差可得44222cossincossin2cos1xyttttt，212xycost，得421()2xyxcost，整理得：2()2()10(01xyxyx剟，01)y剟．由4cos16sin30，又cosx，siny，41630xy．联立2()2()1041630xyxyxy，解得169364936xy（舍)，或1414xy．1C与2C的公共点的直角坐标为11(,)44．7．（2019•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221,1(41txtttyt为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．【解析】（1）由2221,1(41txtttyt为参数），得22211221txtytt，两式平方相加，得221(1)4yxx，C的直角坐标方程为221(1)4yxx，由2cos3sin110，得23110xy．8即直线l的直角坐标方程为得23110xy；（2）法一、设C上的点(cosP，2sin)()，则P到直线得23110xy的距离为：|2cos23sin11||4sin()11|77d．当sin()1时，d有最小值为7．法二、设与直线23110xy平行的直线方程为230xym，联立22230440xymxy，得22164120xmxm．由△221664(12)0mm，得4m．当4m时，直线2340xy与曲线C的切点到直线23110xy的距离最小，为2|114|723．8．（2018•新课标Ⅲ）在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为cos(sinxy为参数），过点(0,2)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点．（1）求的取值范围；（2）求A，B中点P的轨迹的参数方程．【解析】（1）O的参数方程为cos(sinxy为参数），O的普通方程为221xy，圆心为(0,0)O，半径1r，当2时，过点(0,2)且倾斜角为的直线l的方程为0x，成立；当2时，过点(0,2)且倾斜角为的直线l的方程为tan2yx