专题8.8-抛物线及其几何性质---2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)

专题8.8-抛物线及其几何性质---2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2第八篇平面解析几何专题8.08抛物线及其几何性质【考试要求】1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.【知识梳理】1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下【微点提醒】1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y2＝2px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点Fp2，0的距离|PF|＝x0＋p2，也称为抛物线的焦半径.【疑误辨析】31.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是x＝－a4.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a0)的通径长为2a.()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√【解析】(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝1ay，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是0，14a，准线方程是y＝－14a.(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.【教材衍化】2.(选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是________________.【答案】y2＝－92x或x2＝43y【解析】设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－92，m＝43，所以y2＝－92x或x2＝43y.3.(选修2－1P67A3改编)抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为________.【答案】2【解析】设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得x1＝3，y1＝±26.故满足条件的点的个数为2.【真题体验】4.(2019·黄冈联考)已知方程y2＝4x表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x＝m的距离为4，则m的值为()A.5B.－3或5C.－2或6D.6【答案】B【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，它与直线x＝m的距离为d＝|m－1|＝4，∴m＝－3或5.5.(2019·北京海淀区检测)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是4()A.4B.6C.8D.12【答案】B【解析】如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.6.(2019·宁波调研)已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.【答案】[－1，1]【解析】设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].【考点聚焦】考点一抛物线的定义及应用【例1】(1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x21－y2－x22＝()A.4B.6C.8D.10(2)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是()A.2B.135C.145D.3【答案】(1)B(2)A【解析】(1)由抛物线定义知|AF|＝y1＋12，|BF|＝y2＋12，∴|AF|－|BF|＝y1－y2＝2，又知x21＝2y1，x22＝2y2，∴x21－x22＝2(y1－y2)＝4，∴y1＋x21－y2－x22＝(y1－y2)＋(x21－x22)＝2＋4＝6.(2)由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点5F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.【规律方法】应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋p2或|PF|＝|y0|＋p2.【训练1】(1)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.【答案】(1)y2＝4x(2)6【解析】(1)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.(2)如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2.∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝12|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.考点二抛物线的标准方程及其性质【例2】(1)(2018·晋城模拟)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当|MA||MF|＝2时，△AMF的面积为()A.1B.2C.2D.22(2)已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝855，则抛6物线C2的方程为()A.y2＝85xB.y2＝165xC.y2＝325xD.y2＝645x【答案】(1)C(2)C【解析】(1)过M作MP垂直于准线，垂足为P，则|MA||MF|＝2＝|MA||MP|＝1cos∠AMP，则cos∠AMP＝22，又0°∠MAP180°，则∠AMP＝45°，此时△AMP是等腰直角三角形，设M(m，4m)，由|MP|＝|MA|，得|m＋1|＝4m，解得m＝1，M(1，2)，所以△AMF的面积为12×2×2＝2.(2)由题意，知直线AB必过原点，则设AB的方程为y＝kx(易知k0)，圆心C1(0，2)到直线AB的距离d＝|－2|k2＋1＝22－4552＝255，解得k＝2，由y＝2x，x2＋（y－2）2＝4得x＝0，y＝0或x＝85，y＝165，把85，165代入抛物线方程，得1652＝2p·85，解得p＝165，所以抛物线C2的方程为y2＝325x.【规律方法】1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练2】(1)如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________.7(2)(2019·济宁调研)已知点A(3，0)，过抛物线y2＝4x上一点P的直线与直线x＝－1垂直相交于点B，若|PB|＝|PA|，则P的横坐标为()A.1B.32C.2D.52【答案】(1)y2＝3x(2)C【解析】(1)设A，B在准线上的射影分别为A1，B1，由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，则直线的斜率为3，故|AC|＝2|AA1|＝6，从而|BF|＝1，|AB|＝4，故p|AA1|＝|CF||AC|＝12，即p＝32，从而抛物线的方程为y2＝3x.(2)由抛物线定义知：|PB|＝|PF|，又|PB|＝|PA|，所以|PA|＝|PF|，所以xP＝xA＋xF2＝2(△PFA为等腰三角形).考点三直线与抛物线的综合问题【例3】(2019·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.【答案】见解析【解析】(1)可设AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入抛物线C，得x2－2pkx－2p＝0，显然方程有两不等实根，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①又x2＝2py得y′＝xp，则A，B处的切线斜率乘积为x1x2p2＝－2p＝－1，则有p＝2.(2)设切线AN为y＝x1px＋b，8又切点A在抛物线y＝x22p上，∴y1＝x212p，∴b＝x212p－x21p＝－x212p，切线AN的方程为yAN＝x1px－x212p，同理切线BN的方程为yBN＝x2px－x222p.又∵N在yAN和yBN上，∴y＝x1px－x212p，y＝x2px－x222p，解得Nx1＋x22，x1x22p.∴N(pk，－1).|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋k24p2k2＋8p，点N到直线AB的距离d＝|kxN＋1－yN|1＋k2＝|pk2＋2|1＋k2，S△ABN＝12·|AB|·d＝p（pk2＋2）3≥22p，∴22p＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.【规律方法】1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.【提醒】：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】(2017·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10【答案】A【解析】抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则l2直线的斜率为－1k，故l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－1k(x－1).由y2＝4x，y＝k（x－1），消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.9设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝2k2＋4k2＝2＋4k2，由抛