第7章《三角形》精练精析

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第7章《三角形》精练精析提要:本章的考查重点是三角形的性质,包括等腰三角形、直角三角形的一些特殊性质.由于全等三角形是研究图形相等的重要工具,所以这一部分内容也是学好其它几何知识的基础.本章虽然内容较多,但各部分知识之间的联系密切,既要注意了解各部分知识之间的联系,又要保持各部分知识相对的独立性.本章的难点是推理入门.以前在第一册中已了解了推理证明,以及证明几何命题的一般方法步骤,是为现在正规练习证明做准备的.证明要求掌握有理有据地推理,精练准确地表达过程,有一定难度.习题一、填空题1.如果三角形的一个角等于其它两个角的差,则这个三角形是______三角形.2.已知△ABC中,AD⊥BC于D,AE为∠A的平分线,且∠B=35°,∠C=65°,则∠DAE的度数为_____.3.三角形中最大的内角不能小于_____,两个外角的和必大于_____.4.三角形ABC中,∠A=40°,顶点C处的外角为110°,那么∠B=_____.5.锐角三角形任意两锐角的和必大于_____.6.三角形的三个外角都大于和它相邻的内角,则这个三角形为_____三角形.7.在三角形ABC中,已知∠A=80°,∠B=50°,那么∠C的度数是.8.已知∠A=12∠B=3∠C,则∠A=.9.已知,如图7-1,∠ACD=130°,∠A=∠B,那么∠A的度数是.10.如图7-2,根据图形填空:(1)AD是△ABC中∠BAC的角平分线,则∠=∠=∠.(2)AE是△ABC中线,则==.(3)AF是△ABC的高,则∠=∠=90°.11.如图7-3所示,图中有个三角形,个直角三角形.12.在四边形的四个外角中,最多有个钝角,最多有个锐角,最多有个直角.13.四边形ABCD中,若∠A+∠B=∠C+∠D,若∠C=2∠D,则∠C=.14.一个多边形的每个外角都为30°,则这个多边形的边数为;一个多边形的每个内角都为135°,则这个多边形的边数为.15.某足球场需铺设草皮,现有正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形6种形状的草皮,请你帮助工人师傅选择两种草皮来铺设足球场,可供选择的两种组合是.16.若一个n边形的边数增加一倍,则内角和将.17.在一个顶点处,若此正n边形的内角和为,则此正多边形可以铺满地面.图7-1图7-2图7-318.如图7-4,BC⊥ED于O,∠A=27°,∠D=20°,则∠B=,∠ACB=.19.如图7-5,由平面上五个点A、B、C、D、E连结而成,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=.20.以长度为5cm、7cm、9cm、13cm的线段中的三条为边,能够组成三角形的情况有种,分别是.二、选择题21.已知三角形ABC的三个内角满足关系∠B+∠C=3∠A,则此三角形().A.一定有一个内角为45°B.一定有一个内角为60°C.一定是直角三角形D.一定是钝角三角形22.如果一个三角形的三个外角之比为2:3:4,则与之对应的三个内角度数之比为().A.4:3:2B.3:2:4C.5:3:1D.3:1:523.三角形中至少有一个内角大于或等于().A.45°B.55°C.60°D.65°24.如图7-6,下列说法中错误的是().A.∠1不是三角形ABC的外角B.∠B∠1+∠2C.∠ACD是三角形ABC的外角D.∠ACD∠A+∠B25.如图7-7,C在AB的延长线上,CE⊥AF于E,交FB于D,若∠F=40°,∠C=20°,则∠FBA的度数为().A.50°B.60°C.70°D.80°26.下列叙述中错误的一项是().A.三角形的中线、角平分线、高都是线段.B.三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部.C.只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形.D.三角形的三条角平分线都在三角形内部.27.下列长度的三条线段中,能组成三角形的是().A.1,5,7B.3,4,7C.7,4,1D.5,5,528.如果三角形的两边长为3和5,那么第三边长可以是下面的().A.1B.9C.3D.1029.三条线段a=5,b=3,c的值为整数,由a、b、c为边可组成三角形().A.1个B.3个C.5个D.无数个30.四边形的四个内角可以都是().A.锐角B.直角C.钝角D.以上答案都不对图7-4图7-5图7-6图7-731.下列判断中正确的是().A.四边形的外角和大于内角和B.若多边形边数从3增加到n(n为大于3的自然数),它们外角和的度数不变C.一个多边形的内角中,锐角的个数可以任意多D.一个多边形的内角和为1880°32.一个五边形有三个角是直角,另两个角都等于n,则n的值为().A.108°B.125°C.135°D.150°33.多边形每一个内角都等于150°,则从此多边形一个顶点发出的对角线有().A.7条B.8条C.9条D.10条34.如图7-9,三角形ABC中,D为BC上的一点,且S△ABD=S△ADC,则AD为().A.高B.角平分线C.中线D.不能确定35.如图7-10,已知∠1=∠2,则AH必为三角形ABC的().A.角平分线B.中线C.一角的平分线D.角平分线所在射线36.现有长度分别为2cm、4cm、6cm、8cm的木棒,从中任取三根,能组成三角形的个数为().A.1B.2C.3D.437.如图7-11,三角形ABC中,AD平分∠BAC,EG⊥AD,且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G,下列四个式子中正确的是()38.如图7-12,在三角形ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于E.F为AB上的一点,CF⊥AD于H.下列判断正确的有().(1)AD是三角形ABE的角平分线.(2)BE是三角形ABD边AD上的中线.(3)CH为三角形ACD边AD上的高.A.1个B.2个C.3个D.0个三、解答题39.如图,在三角形ABC中,∠B=∠C,D是BC上一点,且FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=140°,你能求出∠EDF的度数吗?图7-9图7-10图7-11图7-1240.如图,有甲、乙、丙、丁四个小岛,甲、乙、丙在同一条直线上,而且乙、丙在甲的正东方,丁岛在丙岛的正北方,甲岛在丁岛的南偏西52°方向,乙岛在丁岛的南偏东40°方向.那么,丁岛分别在甲岛和乙岛的什么方向?41.如图,已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I,IH⊥BC于H,试比较∠CIH和∠BID的大小.42.如图,在三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,CF⊥AB,BC=16,AD=3,BE=4,CF=6,你能求出三角形ABC的周长吗?43.如图,在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5,你能求出AC与AB的边长的差吗?44.已知等腰三角形的周长是16cm.(1)若其中一边长为4cm,求另外两边的长;(2)若其中一边长为6cm,求另外两边长;(3)若三边长都是整数,求三角形各边的长.45.如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,试问BE与DF平行吗?为什么?46.某同学在计算多边形的内角和时,得到的答案是1125°,老师指出他少加了一个内角的度数,你知道这个同学计算的是几边形的内角和吗?他少加的那个内角的度数是多少?47.把边长为2cm的正方形剪成四个一样的直角三角形,如图所示.请用这四个直角三角形拼成符合下列条件的图形:(1)不是正方形的菱形;(2)不是正方形的长方形;(3)梯形;(4)不是长方形、菱形的的平行四边形.48.下面是数学课堂的一个学习片段,阅读后,请回答下面的问题:学习等腰三角形有关内容后,张老师请同学们交流讨论这样一个问题.“已知等腰三角形ABC的角A等于30°,请你求出其余两角”.同学们经过片刻的思考与交流后,李明同学举手说:“其余两角是30°和120°”;王华同学说:“其余两角是75°和75°.”还有一些同学也提出了自己的看法…(1)假如你也在课堂中,你的意见如何?为什么?(2)通过上面数学问题的讨论,你有什么感受?(用一句话表示)49.如图,凸六边形ABCDEF的六个角都是120°,边长AB=2cm,BC=8cm,CD=11cm,DE=6cm,你能求出这个六边形的周长吗?参考解析:一、填空题1.直角2.15°3.60°,180°4.70°5.90°6.锐角7.∠C=180°-80°-50°=50°.8.设∠A的度数为x.则∠B=2x,∠C=x.所以x+2x+x=180°,解得x=54°.所以∠A=54°.9.∠A=∠B=∠ACD=65°.10.(1)BAD,CAD,BAC;(2)BE,CE,BC;(3)AFB,AFC.11.解:有5个三角形,分别是△ABD,△ADE,△CDE,△ADC,△ABC;有4个直角三角形,分别是△ABD,△ADE,△CDE,△ADC.12.3,2,413.120°14.12,815.正三角形和正四边形、正三角形和正六边形、正四边形和正八边形中任选两种即可.16.增加(n-4)×180°17.360°或720°或180°18.解:因为∠BED=∠A+∠D=47°,所以∠B=180°-90°-47°=43°.所以∠BCD=27°+43°=70°.所以∠ACB=180°-70°=110°.19.解:连结BC,如图,则∠DBC+∠ECB=∠D+∠E.所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠B+∠C+∠DBC+∠ECB=180°.20.解:有3种.分别以长为5cm,7cm,9cm;7cm,9cm13cm;5cm,9cm,13cm的线段为边能组成三角形.二、选择题21.A22.C23.C24.D25.C26.C27.D28.C29.C30.B31.B32.C33.C34.C(点拨:可能会错选A或B.有的同学一看到面积就认为与高相关,故错选A;有的同学认为平分内角必平分三角形的面积,故错选B.其实,因为△ABD与△ACD同高h,又S△ABD=S△ADC,即BD×h=·CD×h,所以,BD=CD,由此可知,AD为三角形ABC中BC边的中线.)35.D(点拨:可能会错选A或选C.错选A的同学,只注重平分内角而忽视了三角形的角平分线为一线段这一条件;而错选C的同学,实质上与错选A的同学犯的是同一个错误,显然这里“角平分线”与“一角的平分线”是一个意思,因为前提条件是说“AH必为三角形ABC的”.)36.A(点拨:由三角形的三边关系知:若长度分别为2cm、4cm、6cm,不可以组成三角形;若长度分别为4cm、6cm、8cm,则可以组成三角形;若长度分别为2cm、4cm、8cm,则不可以组成三角形;若长度分别为2cm、6cm、8cm,则不可以组成三角形.即分别为2cm、4cm、6cm、8cm的木棒,从中任取三根,能组成三角形的个数为1,故应选A.)37.C(点拨:因为EG⊥AD,交点为H,AD平分∠BAC,所以在直角三角形AHE中,∠1=90°-,在三角形ABC中,易知∠BAC=180°-(∠2+∠3),所以∠1=90°-[180°-(∠2+∠3)]=(∠3+∠2).又因为∠1是三角形EBG的外角,所以∠1=∠2+∠G.所以∠G=∠1-∠2=(∠3+∠2)-∠2=(∠3-∠2).)38.A(点拨:由∠1=∠2,知AD平分∠BAE,但AD不是三角形ABE内的线段,所以(1)不正确;同理,BE虽然经过三角形ABD边AD的中点G,但BE不是三角形ABD内的线段,故(2)不正确;由于CH⊥AD于H,故CH是三角形ACD边AD上的高,(3)正确.应选A.)三、解答题39.解析:要想求∠EDF的度数,我们可以利用平角定义,只要能求出∠EDB即可.而∠EDB在三角形BDE中,只要能求出∠B就可以利用三角形内角和求∠EDB.而∠B又等于∠C,题中告诉了三角形DFC的一个外角∠AFD=140°,所以我们能得出∠C的度数.解:因为∠AFD是三角形DCF的一个外角.所以∠AFD=∠C+∠FDC.即140°=∠C+90°.解得∠C=50°.所以∠B=∠C=50°.所以∠EDB=180°-90°-50°=40°.所以∠FDE=180°-90°-4

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