尼克尔森：微观经济学-复习梳理

尼克尔森：微观经济学-复习梳理第三部分生产和供给第7章生产函数※RTS的性质※规模报酬不变的生产函数的性质※位似生产函数V.S规模报酬※替代弹性的性质※技术进步◆RTS递减的条件222232020()kllklkllkkkllklkllkkkfffffffdRTSfffffffdlf(,)fkl是拟凹函数0klf是RTS递减的充分条件，但不是必要条件◆规模报酬不变生产函数的性质（）kMP和LMP是齐次零次性(,)(,)llMPtktlMPkl（2）kMP和LMP仅与/kl有关令1/tl(/,1)(,)llMPklMPkl（3）RTS仅与/kl有关位似生产函数◆位似生产函数V.S规模报酬（1）位似生产函数任何齐次函数的单调变换(,)[(,)]rFklfkl其中(,)fkl为规模报酬不变的生产函数（2）位似生产函数可以是任何一种规模报酬的情况1r（规模报酬递增）/1r（规模报酬不变）/1r（规模报酬递减）所有的Cobb-Douglas/CES/完全替代/固定比率的生产函数都是位似的◆替代弹性（Elasticityofsubstitution）的性质（1）假设前提:沿着等产量线；要素价格不变，其他可能的要素投入保持不变（2）表达式:(ln/)(ln/)(/)lkdkldkldRTSdff针对规模报酬不变的生产函数:klklffffHowtoproof?（3）不同生产函数的替代弹性完全替代（线性）：/固定比率：0/Cobb-Douglas:1CES生产函数（/[]pprpqkl1p0p0r）11p性质:1r（规模报酬递增）/1r（规模报酬递减）1（完全替代）/（固定比率）/0（Cobb-Douglas函数）※技术进步（1）生产函数:()(,)qAtfkl（2）,,qAqkkqllGGeGeG其中/ididtGi（变化率）推导（课本201页）（3）特例:1tqAekl(1)qlkGGG1()()ttqAekel（分别考虑技术对劳动和资本的影响）(1)第8章成本函数※成本最小化条件※生产扩张曲线（ExpansionPath）※成本函数的性质※要素投入替代偏弹性（Partialelasticityofsubstitution）※技术进步对成本的影响◆成本最小化条件（1）最小化的条件:lkfwRTSfvlkffwv即:最后一美元的边际产量对于任何一种投入要素都一致（2）拉格朗日乘子的涵义lkwvff实质:边际成本，即增加一单位产量（约束）对成本的影响◆生产扩张曲线（ExpansionPath）（1）在等成本线的图上，不同产量水平下使得wRTSv的所有投入要素组合的点的连线（2）位似生产函数生产扩张曲线为直线类似于位似偏好下，收入扩张曲线为直线Cobb-Douglas/CES/完全替代/固定比率的生产扩张曲线都为直线（3）不存在劣等投入要素（0ql）的条件下，扩张曲线斜率为正◆成本函数的性质（1）成本函数是要素价格的一次齐次性(,,)(,,)CtwtrqtCwrq（2）成本函数是产量，要素价格的非减函数直观证明:假设要素价格从0w上升到1w，其成本函数是w的递减函数则:0010**''wlrkwlrk另外:100000''''**''oowlrkwlrkwlrkwlrk（不满足成本最小化）包络定理证明:*()0CLMCqq*0CLkvv*0CLlww（3）成本函数是要素价格的凹函数包络定理证明:22*()0CLkvvvv图形解释（课本227页）（4）AC是要素价格的一次齐次；且为要素价格的增函数Proof:CACq，而C是要素价格的增函数（5）MC也是要素价格的一次齐次；对于正常要素，MC是要素价格的增函数，对于劣等投入，MC则为要素价格的减函数Proof:22(/)MCLqLLkvvvqqvq对于正常投入:0kq对于劣等投入:0kq◆要素投入替代偏弹性（Partialelasticityofsubstitution）（1）表达式:(ln/)(/)/0(ln/)(/)/klklklwvswvwvkl对于固定比率的生产函数:0kls（2）对比替代弹性（）基于生产函数的性质/kls基于成本最小化的前提对于存在其他投入要素时，不允许其他要素的投入量发生改变；kls则允许其使用量发生变化由于成本最小化要求lkfwRTSvf，因此和kls在数值上是一致的◆技术进步对成本的影响（1）假设生产函数为:()(,)qAtfkl()kkt()llt生产函数是规模报酬不变的技术中性，即:不影响要素的价格，从而不影响要素的要素投入选择（2）结论:0(,,)(,,)/()tCvwqCvwqAtProof:00(,,)(,,1)(,,1)/()(,,)/()ttCvwqqCvwqCvwAtCvwqAt（3）技术进步不改变总成本的要素价格的弹性第9章利润最大化※逆弹性法则※利润函数性质※条件要素需求V.S要素需求※生产者剩余※利润最大化※要素价格对要素需求的影响◆逆弹性法则（1）,1qpPMCPe（推导:,1(1)qpMCPe）（2）这个式子仅针对,1qpe（富有弹性）有意义（3）面对供给者的需求越有弹性，P与MC的差距越小（,qpe，PMC）◆利润函数性质（1）利润函数是价格的一次齐次性(,,)(,,)tptwtvtpwv产量和要素需求是价格的零次齐次性(,,)(,,)qtptwtvqpwv(,,)(,,)ktptwtvkpwv(,,)(,,)ltptwtvlpwv（2）利润函数是产出价格P的非递减函数直观证明:假设利润函数是产出价格P的递减函数，产出价格从0p上升到1p则:01***'''pqwlrkpqwlrk另外:1011*********'''pqwlrkpqwlrkpqwlrkpqwlrk与利润最大化矛盾包络定理证明:(,,)0pvwqp（3）利润函数是要素价格的非递增函数直观证明:假设利润函数是w的递增函数，要素价格从0w上升到1w则:01***'''pqwlrkpqwlrk另外:1000''''''***'''pqwlrkpqwlrkpqwlrkpqwlrk与利润最大化矛盾包络定理证明:(,,)0pvwkv（4）利润函数是产出价格的凸函数（定义）:只需证明1212(,,)(1)(,,)((1),,)kpvwkpvwkpkpvw3123333(,,)((1),,)pvwkpkpvwpqvkwl313332333(,,)()(1)()pvwkpqvkwlkpqvkwl311112222(,,)()(1)()pvwkpqvkwlkpqvkwl312(,,)(,,)(1)(,,)pvwkpvwkpvw包络定理证明:22()()0kvvvv◆条件要素需求V.S要素需求（1）条件要素需求函数*cCLkvv*cCLlww（2）要素需求函数(,,)pvwkv(,,)pvwlw◆生产者剩余（1）生产者剩余的定义:生产者进行生产比没有生产所能得到的额外收益（2）短期生产者剩余10111111()()()PSpppqvkwlvkpqwl（3）短期生产者剩余1011()()()()()PSpppvkpvk（4）221121()()()ppppPSwelfaregainqpdpdpppp◆利润最大化（1）问题描述:(,)()pfklvkwl（2）利润最大化的条件:一阶条件:lllMRPMRMPpMPwkkkMRPMRMPpMPv二阶条件:0kkkkf0llllf220llkkklllkkklfff（生产函数是拟凹函数）◆要素价格对要素需求的影响（1）仅考虑劳动是唯一可变的要素（短期）110lllllllpMPwpfwwpf（2）同时考虑存在两种可变要素（长期）图形解释（课本267页）替代效应（RTS递减）（wl）产出效应（wMCl）单个企业（P不变）V.S整个行业（P降低产出效应较小）Slutsky方程(,,)(,,)(,,(,,))cclpvwlvwqlvwqvwpcclllqwwqwclsubstitutioneffectw（替代效应是负的，wl）()cclqlqPMCMCoutputeffectqwqMCw（wl）其中:()0qPMCMC以及2(/)cMCLqLlwwqwq无论劣等投入或是正常投入，产出效应都是负的（所谓的“吉芬品”不存在）要素需求是自身要素价格的负向函数然而，不同要素价格对需求的影响是不确定的!!!（3）替代效应和产出效应的计算(',,*)(,,)csubstitutioneffectlvwqlvwp其中**(,,)qqvwp(',,)(',,*)coutputeffectlvwplvwq注意:替代效应是沿着等产量曲线计算的!!!======================================================================第四部分竞争市场第10章局部均衡竞争模型※市场均衡的数学模型※长期均衡（针对:成本不变的行业）※长期供给曲线的形状※市场中的企业数量分析※长期中的生产者剩余◆市场均衡的数学模型（1）(,)DQDp(,)SQSp其中包括各种可能移动需求曲线的因素:其他商品价格、收入、偏好包括各种移动供给曲线的因素:要素价格、技术ppDpSD,,,,DpspDpeeeeppSpDS,,,,SpDpSpeeee推导:DSDSppQQdQdQDdpDdSdpSd◆长期均衡（针对:成本不变的行业）（1）企业利润最大化要求:pMC长期利润为零:pAC（这个条件只有当存在自由准入和退出时成立）（2）求解步骤Step1:由ACMC*q和min*pACStep2:(*)DQp*QStep3:**Qnq◆长期供给曲线形状（1）成本不变行业（企业进入不影响要素价格）,spe（2）成本增加行业（随着企业的进入AC和MC）LS向右上方倾斜，但比短期的供给曲线弹性更大,0spe（3）成本减少行业（随着企业进入AC和MC）LS向右下方倾斜,0spe（4）对比:短期供给弹性V.S长期供给弹性短期:供给曲线的弹性总是正的，,0sspe长期:供给曲线的弹性可以是正的，也可以是负的◆市场中的企业数量分析（1）*q的变化取决于AC和MC的相对变化程度（假设要素价格变化引起了成本变化）1*[][]qMCACMCvqvv若AC上移幅度大于MC上移幅度，则*q增加Proof:(,,*)(,,*)ACvwqMCvwq****ACACqMCMCqvqvvqv(0*ACq)（2）企业数量变化:0110**10QQnnnqq假设:要素价格增加引起成本增加（所以:均衡产量总是下