2010年全国高中数学联赛天津预赛试题

2010年全国高中数学联赛天津预赛一、填空题1.设实数a、b、c满足a2-bc-2a+10=0，b2+bc+c2-12a-15=0，则a的取值范围是2.满足a2+ab+b2=2010的正整数解(a,b)构成的集合为3.已知x1，x2，...，x2010均为正实数，则2010212009212010213121...4......xxxxxxxxxxxxx的最小值为4.已知非等腰△ABC的外心、内心和垂心分别为O、I、H，∠A＝600.若的三条高线分别为AD、BE、CF，则△IOG的外接圆半径与△DEF的外接圆半径之比为5.在一个房间中，地面是边长为6m的正方形，其中心设为O，要在正对着O的房顶安装一盏灯V，已知灯照射的角度为900（所有由V照射出的光线的边界所夹角度的最大值，即光线的边界与VO的夹角为450），若使房间的每个地方都能照到，VO的最小值为m。6.若关于x的函数f(x)=|x-[x+a]|存在最大值M(a)，则正实数a的取值范围是，其中[y]表示不超过y的最大整数。7.双曲线12222byax的右焦点为F，直线l:y=kx+d不过点F，且与双曲线的右支交于点P、Q，若∠PFQ的外交平分线与l交于点A，则点A的横坐标为8.a1，a2，a3，a4，a5是1，2，3，4，5的一个排列，且满足|ai-ai+1|≠1(i=1,2,3,4)，则满足条件的排列a1，a2，a3，a4，a5的数目为二、解答题9.设△ABC的外心、内心分别为O、I，∠A、∠B、∠C内的旁心分别为I1、I2、I3，证明：（1）△I1I2I3为锐角三角形；（2）若△I1I2I3的外心为O’，则O’、O、I三点共线。10.已知有理数数列{an}(n=0,1,2,…)满足021nxnxan(n=0,1,2,…),其中α、β为实数，x1，x2∈C(C为复数集），且x1x2=1，证明：（1）x1+x2为有理数；（2）若x1x2不是实数，则α＝β11.正五边形ABCDE的对角线BE分别与对角线AD、AC交于点F、G，对角线BD分别与对角线CA、CE交于点H、I，对角线CE与对角线AD交于点J，设由图中10个点A、B、C、D、E、F、G、H、I、J和线段构成的等腰三角形的集合为M（1）求M中元素的个数；（2）若将这10个点中每个点任意染色为红蓝两种颜色之一，问是否一定存在M中的一个等腰三角形，其三个顶点同色？（3）若将这10个点中的任意n个点染为红色，使得一定存在M中的一个等腰三角形，其三个顶点同为红色，求n的最小值。