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一、填空题:(每题10分) 1.已知11,2727ab==+−,则33aabb−+−= 。 分析:41,33abab+=−=−;333364()3()()()27aabbababababab−+−=+−+−+=+=−。 2.已知12341234//////,//////llllmmmm,100,20ABCDILKJSS==,则EFGHS= 。 分析:,,,212060AFEJFEBEHIEHCHGLHGDFGKFGEFGHABCDILKJEFGHSSSSSSSSSSSSΔΔΔΔΔΔΔΔ====⇒=+=⇒= KLIHAFDEJBCG 3.已知90,6,8AABAC∠===,,EF在AB上且2,3AEBF==,过E作AC的平行线交BC于D,FD的延长线交AC的延长线于G,则GF= 。 分析:421//;//633DEBEDEFEDEACDEAGACABAGFA⇒===⇒==。所以216AGAC== 故229256265FGAFAG=+=+= AGFEDCB 1 4.已知凸五边形的边长为12345,,,,aaaaa,()fx为二次三项式;当1xa=或者2345xaaaa=+++时,()5fx=;当12xaa=+时,()fxp=,当345xaaa=++时,()fxq=,则pq−= 。 分析:12345aaaaa+++且12345()()fafaaaa=+++;由此可知()fx关于123452aaaaax++++=对称; 所以12345()()0faafaaapqpq+=++⇒=⇒−= 5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上的数字之和为15,则这个三位数是 。 分析:数字之和为15说明这个三位数也是3的倍数,所以这个三位数为105的倍数,检验得735是唯一解。 6.已知关于x的一元二次方程2(1)(2)0xaxmm++++=对于任意实数a都有实数根,则m的取值范围是 。 分析:由题224(1)(2)0(1)(2)4xaammmmΔ=−++≥⇒++≤对一切的实数a都成立,可知(1)(2)mm++小于等于24a的最小值,故(1)(2)021mmm++≤⇒−≤≤−。 7.已知四边形ABCD的面积为2013,E为AD上一点,,,BCEABECDEΔΔΔ的重心分别为123,,GGG, 那么123GGGΔ的面积为 。 分析:如图,取,ABCD的三等分点,由比例线段可知123GGGΔ的底为23AD,高为13AB;故面积为 四边形ABCD的面积的19;故答案为6713。(本题取矩形四边中点亦可,稍繁) G3G2G1EDCBA G3G2G1EDCBA 2 8.直角三角形斜边AB上的高3CD=,延长DC到P使得2CP=,过B作BFAP⊥交CD于E,交AP于F,则 DE= 。 分析:由295DEADADBDCDPDBEADPEDBDEBDPDPDPD∠=∠⇒ΔΔ⇒=⇒===i∽ EFPDCBA 二、解答题:(第9题、第10题15分,第11题、第12题20分) 9.已知90BAC∠=,四边形ADEF是正方形且边长为1,求111ABACBC++的最大值; 分析:1111111EFDECEBEABACBCABACBCBCACBCBC++=++=++=+ 故只需要求BC的最小值即可;由1BDEFBDEEFCBDCFDEFCΔΔ⇒=⇒=i∽ 所以2222222(1)(1)22()BCABACBDCFBDCFBDCF=+=+++=++++ 2248BDCFBDCF≥++=ii;故22BC≥. 当且仅当BDCF=时等号成立此时1111211422ABACBC++≤+=+ FEDCBA 3 10.已知a是不为0的实数,求解方程组: 1xxyayyxyxa⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩ 分析:22111()()1()11(0)xyaxyxyaxyxyxyaaaa−−=⇒−++=≠⇒=+ 代回得到1xya=;所以222211aaxxaa++=⇒=或者21aa+− 当21axa+=时,21ya=+;当21axa+=−时,21ya=−+ 经检验,以上两组均为原方程的解 11.已知1n,12,,...naaa为整数且1212......2013nnaaaaaa+++==,求n的最小值。 分析:当5n=时,取123451,1,2013aaaaa==−===可知满足要求。 下证当4n≤时不行;不妨设12...naaa≤≤≤ (1)12,,...naaa均为正整数,则12,,...naaa均为2013的正约数且都小于2013,那么由于201331161=×× 可知若要满足12...2013naaa+++=且4n≤,故671na≥,故13na−≤;无论2,3,4n=均不可能 (2)12,,...naaa中有负整数,则由于12...2013naaa=且4n≤,故有且只有两个为负数,即120aa≤; 若4n=,且42013a=,则不存在3a满足要求;若4n=,且42013a,则4671a≤无法保证12342013aaaa+++= 若3n=,那么120aa≤,则32013a≥,也不可能; 综上可知:n的最小值为5 12.已知正整数,,,abcd满足22(13),(13)acdbcd=+=−,求所有满足条件的d的值。 分析:设(,)abw=,,(,)1awmbwnmn==⇒=ii;由题:222213131313admdbdnd++=⇒=−−。 再设222213,1326()()()dkmdknkmnkmnmn+=−=⇒=−=+−ii 由于 ,mnmn+−同奇偶,故,mnmn+−均为奇数且2k= 所以得到()()137,6mnmnmn+−=⇒==;代入得到981385d=−=;故85d=为唯一解。 4
本文标题:2013年上海初中数学竞赛(新知杯)试题及解答
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