初中数学--分式及其基本性质同步练习1

分式及其基本性质【教材研学】一、分式的定义针对分式的定义可以提出多种类型的问题。比如：如何区分整式与分式；分式何时有意义、无意义；分式取值情况等。其中分式的取值情况又包括：①分式值为0的条件；②分式的值何时为正；③分式的值何时为负等．解题要领是：二、分式的基本性质及其应用1．分式的基本性质（1）分式的基本性质由六部分组成：①分式的分子与分母；②都乘以(或除以)；③同一个；④不等于0的；⑤整式；⑥分式的值不变．（2）类比思想是学习本章的重要思想方法．学习分式的基本性质可与分数的基本性质类比进行，可以按照下面的顺口溜记：分数分式不相同，分数上下数值型；分式分母含字母，分数分式要分清；分式上下同除乘，除乘整式要非零；分式之值不改变，分式分母不为零．2．分式基本性质的应用分式的基本性质是分式变形的重要依据．主要用于以下几个方面：（1）将分子、分母中各项的系数化为整数；分式有意义分母不等于0分式无意义分母等于0分式值为0分子等于0，分母不等于0分式值为正分子、分母同号分式值为负分子、分母异号（2）改变分式的分子、分母中部分项的符号(比如：改变分式的首项系数的符号，改变分式的最高次项的符号等)；（3）符号化简：分式的分子、分母与分式本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变；（4）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去．老师：约分是化简分式的一种手段，怎样进行分式的约分?小刚：有些分式的分子与分母都是单项式，而有些分式的分子与分母中出现了多项式，约分时步骤应有所不同．小明：分子与分母都是单项式时，分子与分母的系数约去最大公约数，字母则约去分子与分母中相同字母的最低次幂．小勇：若分子与分母中有多项式，不方便直接约分，这时先将多项式分解因式，转化为乘积的形式，再约分．老师：约分后，分式的分子与分母应没有公因式，化成最简形式．三、探究活动问题：分式何时不能约分?探究：学习了分式及其基本性质以后，感受到分式的约分为我们带来了很大的方便，但分式并不是在什么情况下都能约分，下面从以下几个方面来探究：1．判断分式概念时不能约分。比如：判断xxx2是整式还是分式，若将其约分1)1(2xxxxxxx。根据x一1是整式，因而判断xxx2也是整式是错误的．因为判断一个代数式是否是分式，应根据分式的定义，分母中有没有字母是判断分式的关键，本题所给的式子分母中有字母，直接判断为分式·2．确定分式有、无意义及值为零的条件时不能约分.比如：x为何值时，xxx2有意义?有些同学按下面的解法错解成：112xxxx，由分母x—l≠0，得x≠1，即当x≠1时，xxx2有意义。事实上，由于约分使分式分母中的取值范围扩大，由原来的x≠O且x≠1扩大为x≠1.3．判断两个分式是否相等时不能约分．比如：判断xxx2与11x是否相等。若按下面的方法约分后再判断是不对的：∵112xxxx∴xxx2与11x值相等·事实上，这两个分式的字母取值范围不同，一定是不同的分式．结论：一般的说，分式的分子与分母约去的如果是一个具体的数，在很多情况下可以约分，如果分子、分母约去的是一个含有字母的整式，有些问题可以约分，有些则不能．【点石成金】例1、若分式12xxx的值为0，必须分子为0，即x2－x＝0，解得，x＝0，x＝1。但当x=1时，分母x一1=0，所以x≠1；当x=0时，分母x一1=0－1≠0，因此使分式的值为0的x的值是0．答案:0名师点金：要使一个分式的值为0，需满足两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件同时成立．这类题有两种解法：（1）00分母分子＝解这个不等式；（2）先求分子=0的x值，再代入分母中验证．例2（1）当x_________时，分式426x的值为正；（2）当x________时，分式4512xx的值为负；（3）当x_________时，分式231xx的值为一1．分析：在（1）、（2）两个问题中，可根据有理数相除的符号法则“同号得正，异号得负”解决；（3）分式值为一1，说明分式的分子、分母互为相反数．解：（1）∵6与2x－4同号，∴2x一40．∴x2．（2）5x2+40，∴x—l0．∴x1．（3）由题意得：x一1＝一（3x一2），x＝43。名师点金：分式ab的值为正，要求a,b同号；分式ab的值为负，要求a，b异号；分式ab=l要求a=b≠0；分式ab＝一l要求a＝一b≠0．例3、不改变分式的值，使分式的分子、分母都不含有负号：（1）abxy53；（2）一stmn711。分析：因为这两个分式的分子、分母都有负号，可以分子、分母同乘以一l；此外由于分式（两式相除）中也适用有理数相除的符号法则“同号得正，异号得负”，因而也可以利用符号法则化简符号．解：（1）abxyabxy5353；（2）一stmnstmn711711名师点金：分式符号变化规律可以简记为：“分子分母双其反，分式符号不会变；若是其中之一变，分式符号定取反．”例4：约分：)3(9)3(322mmnmnm．分析：分式中的（m一3）与3一m互为相反数，即m一3=一（3一m），所以约分后要改变符号．解：nmnmmnmmmnmmnmnm3)3(9)3(3)3(9)3(322名师点金：在进行分式的约分时，要注意约分前后符号的变化，约分时也可先确定分式的符号．例5、下列分式从左到右的变形是否正确?（1）xxxx3312；（2）31312xxx。解析：（1）从左到右的变形是分子、分母同乘以x，因为x有可能是0．因此变形错误；（2）是将（1）的变形倒过来，从左到右分子、分母同除以x，可xx312是已知分式,即x2－3x≠0。因而x≠0，符合分式的基本性质，是正确的。答案（1）错误；（2）正确．名师点金：利用分式的性质对分式进行变形时，如果分子、分母同乘(或除以)的整式含有字母．那么这个整式可能是0，因此用性质时应加以注意．例6、若分式1332aa的值为整数。求整数a的值．如果求正整数a，应如何求解?分析：由于131332aaa，当分式的值为整数时，分母应是分子的约数．解：因为131332aaa，所以a+1是3的约数a＋1=l或一1或3或一3，解得，a=0或一2或2或一4．并且对于a的这四个值原分式1332aa总有意义(分母不等于0)，若a是正整数，a=2．名师点金：一个分式的值为整数时，分母是分子的约数．例7、写出三个最简分式，使它们的分母都是6x2y。这类题不仅考查了分式的基本性质，最简分式、约分等方面的知识，而且考查了学生的逆向思维，是近年来中考题中，颇受青睐的一种题型。解：yxab26；yxyx226)(7；yxyx2226。名师点金：这类题答案较多，写出的答案只要符合条件：（1）最简分式；（2）分母都是6x2y即可。【基础练习】1．判断下列有理式中哪些是整式，哪些是分式?3x，x215，xy4272，e7，yxa572.2．认真分析下表：时间（小时）路程（千米）提速前2s提速后mn＋p（1）用含有字母的式子，表示列车提速前后的速度；（2）上面所得到的两个式子有什么共同点?又有什么不同点?（3）这两个式子哪个是整式?哪个是分式?3．梯形的面积为s，上底是a，下底是b，则高可表示为________；当s=10，a=2，b=3时，它的高是________。4．x取何值时，分式553xx有意义?5．“x取何值时，分式112xx的值为0”。学习了分式后，小明采取了下面的做法：解：∵分式112xx=0，∴x2一1=0∴x＝1或x＝－1。请你分析一下，有错误吗?6．利用分式的基本性质，可将分式在值不变的情况下进行变形．请你根据分式的基本性质填空：（1）322abacac；（2）222()2abab；（3）22mnmnx7．将下列分式约分：（1）23312xyyx；（2）22222bababa.答案：1．整式式有3x，xy4272，e7;分式有x215，yxa572。本题主要是考查分式的定义，分母中有字母是判断分式的关键，注意：π是数不是字母．2．（1）提速前：2s千米／小时；提速后：mpn千米/小时。（2）共同点：都是形如ab的式子；不同点：2s的分母中不含字母，mpn的分母中含有字母。（3）2s是整式，mpn是分式。3．bas244．当x+5≠0，即x≠一5时，分式553xx有意义。判断一个分式是否有意义，看其分母是否为零5．判断一个分式的值为0，不仅要求分子为0．而且还要求分母不为0．小明在做题时，只考虑了分子为0，没有考虑分母不为0，所以是错误的．6．（1）2b根据分式基本性质分子、分母同除以a。（2）a－b根据分式基本性质分子、分母同除以（a＋b）。（3）2nx根据分式基本性质分子、分母同乘以n；且n≠0。7．（1）yxxyyx2234312；（2）babababababababa))(()(222222