上海格致中学2013届高三下学期仿真考试数学（理）试题

格致中学二〇一二学年度第二学期高考仿真（理答案）数学(理科)试卷(共4页)(测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷)一、填空题：（每小题4分，满分56分）1、已知复数z满足(1)2zi（i是虚数单位），则||z＿＿＿；22、不等式1021xx的解为＿＿＿；112x（用集合或区间表示也可以）3、若全集UR，集合{|31}Axx，{|32}ABxx，则UBAð＿；(1,2]4、若二项式6()axx展开式的常数项为20，则a＿＿＿＿；15、将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为＿＿＿；336、某学院的A、B、C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取＿＿＿＿名学生；407、已知函数1()2(0xfxaa且1)a的反函数为1()fx。若)(1xfy在[0,1]上的最大值和最小值互为相反数，则a的值为＿＿＿＿＿；68、数列{}na满足：对于任意的*,mnN，mnmnaaa。若112a，则2013a＿；201329、若函数)102)(36sin(2)(xxxf的图像与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图像交于另外两点B、C。O是坐标原点，则()OBOCOA___________；3210、袋中装有同样大小的10个小球，其中有8个白球，2个红球。从中任取2个球，取到白球得1分，取到红球得5分。记随机变量为一次取得的两球的分数之和，则E18511、若双曲线22221(0,0)xyabab上存在四个不同的点A、B、C、D，使四边形ABCD为菱形，则ba的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿；(1,)12、在极坐标系中，O是极点，点M的极坐标为(,)(0,02)，则称为向量OM的方向角，方向相同的两平行向量的方向角相同。已知(23,)2P、5(3,)6Q，则班级____________姓名________________学号____________准考证号______________ABOMN向量PQ的方向角等于＿＿＿＿＿＿＿＿；4313、定义在R上的偶函数()fx对于任意的xR有(1)(1)fxfx，且当[2,3]x时，2()69fxxx。若函数()logayfxx在(0,)上只有四个零点，则实数a的值为＿＿＿＿＿＿；1414、某公园草坪上有一扇形小径（如图），扇形半径为40m，中心角为120。甲由扇形中心O出发沿OA以每秒2米的速度向A快走，同时乙从A出发，沿扇形弧以每秒43米的速度向B慢跑。记(020)tt秒时甲、乙两人所在位置分别为N、M，||()MNft，通过计算(5)f、(10)f、(15)f判断下列说法是否正确。（1）当MNOA时，函数()ft取最小值；（2）函数()yft在区间[10,15]上是增函数；（3）若0()ft最小，则0[0,10]t；（4）()()40gtft在[0,20]上至少有两个零点。其中正确的判断序号是＿＿＿＿＿（把你认为正确的判断序号都填上）。（2）、（3）、（4）。二、选择题：（每小题5分，满分20分）15、“2p”是“关于x的实系数方程210xpx没有实数根”的（A）A、必要不充分条件；B、充分不必要条件；C、充分必要条件；D、既不充分又不必要条件。16、设是平面，,,lmn是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（C）A、若,,,,mnlmlnl则苘；B、若,,,//mnlnlm则Ü；C、若//,,lmmn，则//ln；D、若,,//lmlnnm则。17、设1F、2F分别是椭圆222:1(01)yExbb的左、右焦点，过1F的直线l与E相交于A、B两点，且2||AF、||AB、2||BF成等差数列，则||AB的长为（C）A、32；B、1；C、34；D、35。18、()fx是定义在R上周期为1的周期函数，当[0,1)x时，()1xfxx。直线yx与函数()yfx的图像在y轴右边交点的横坐标从小到大组成数列{}na。则（A）A、11nnaa对于*nN恒成立；B、11nnaa对于*nN恒成立；C、11nnaa对于*nN恒成立；D、1nnaa与1的大小关系不确定。三、解答题：（共5大题，满分74分，解题要有必要的步骤）19、（本题满分12分，第（1）题6分，第（2）题6分）已知函数23()3sinsincos()2fxxxxxR。（1）求函数()fx的最小正周期T与单调递增区间；（2）在△ABC中，若1()()2fAfB，求角C的值。解：（1）313()(1cos2)sin2sin(2)2223fxxxx2分所以周期T3分由2[2,2]322xkk，得5[,]1212xkk即函数()fx单调递增区间为5[,]()1212kkkZ。6分（2）A、B为三角形内角，所以A、(0,)B，由1()2fx且(0,)x得：1sin(2)324xx或712x，8分又AB，所以4AB或7,412AB或7,124AB10分所以2C或6C。12分20、（本题满分14分，第（1）题7分，第（2）题7分）已知函数21()(,)fxaxabRxb。（1）判断函数()fx的奇偶性，并说明理由；（2）当0b时，1()24fxa在1(0,]2上恒成立，求a的取值范围。解：（1）函数()fx定义域(,)(,)bb，当0b时，函数定义域不关于原点对称，所以函数()fx是非奇非偶函数；2分当0b时，21()fxaxx，0a时，1()fxx是奇函数，4分0a时，(1)1,(1)1fafa，(1)(1)20(1)(1)ffaff()fx不是奇函数；(1)(1)2(1)(1)ffff，()fx不是偶函数。6分综上知：当0a或0b时，()fx是非奇非偶函数；当0ab时，()fx是奇函数。7分（2）0b时，21()fxaxx，2124aaxx在1(0,]2x上恒成立。即：12()111112()()2()()2222xaxxaxxxx9分由1110,222xx，则21()2axx在1(0,]2x上恒成立。11分当1(0,]2x时，11()22xx，所以241()2xx，13分即4a。14分21、（本题满分14分，第（1）题7分，第（2）题7分）如图：1111ABCDABCD是棱长为2的正方体，P为面对角线1AD上的动点（不包括端点），PM平面ABCD交AD于点M，MNBD于N。（1）设APx，将PN长表示为x的函数()fx，并求此函数的值域；（2）当PN最小时，求异面直线PN与11AC所成角的大小。解：（1）由题知：PMMN，则△PMN是直角三角形。22APxPMAMx212222MDxMNx2223224PNPMMNxx即23()22(022)4fxxxx5分2233223()22()4434fxxxx，所以23()[,2)3fx。7分A1B1C1D1ABCDPMN（2）当223x时，min233PN因为11//ACAC，ACBD，则//ACMN。即有11//ACMN，所以PNM即为异面直线PN与11AC所成的角。10分在直角三角形AMN中2223PMAP，233PN，3sin3PNM，则3arcsin3PNM。所以直线PN与11AC所成的角为3arcsin3。14分22、（本题满分16分，第（1）题4分，第（2）题①6分，②6分）抛物线22(0)ypxp的焦点F为圆C：22430xyx的圆心。（1）求抛物线的方程与其准线方程；（2）直线l与圆C相切，交抛物线于A、B两点：①若线段AB中点的纵坐标为43，求直线l的方程；②求FAFB的取值范围。解（1）由22430xyx得：22(2)1xy，圆心(2,0)C，即(2,0)F。所以抛物线方程为28yx3分准线方程为2x。4分（2）①设l：xmyt，由l与圆C相切得2|2|11tm（*）6分再由28xmytyx得2880ymyt设1122(,),(,)AxyBxy，则12128,8yymyyt8分由题意：12432yy，得3m代入（*）得：0t或4t所以直线l方程为：30xy或340xy。10分②(2,0)F，1122(2,),(2,)FAxyFBxy，1212(2)(2)FAFBxxyy2121212121212()2()42()4464yyxxxxyymyytyy将12128,8yymyyt代入化简得：2212416FAFBttm13分由（*）得2243mtt，所以2155244FAFBtt14分由于22430mtt，所以1t或3t。15分令2()155244fttt，知()ft在(,1]上递增，在[3,)上递减。(1)7f，(3)13f，所以FAFB取值范围为(,7]。16分23、（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题7分，第（3）题7分）若数列{}na的每一项都不等于零，且对于任意的*nN，都有2nnaqa（q为常数），则称数列{}na为“类等比数列”。已知数列{}nb满足：1(,0)bbbRb，对于任意的*nN，都有112nnnbb。（1）求证：数列{}nb是“类等比数列”；（2）若{}nb是单调递增数列，求实数b的取值范围；（3）设数列{}nb的前n项和为nS，试探讨1limnnnnSbb是否存在，说明理由。解：（1）因为112nnnbb，所以2122nnnbb，21212nnnnnnbbbbbb，所以数列{}nb是“类等比数列”。4分（2）112,4bbbb，所以24bb5分当n为奇数时，设*21()nkkN，则1212knkbbb，当n是偶数时，设*2()nkkN，则112422kknkbbbb。7分因为{}nb递增，所以2122122kkkkbbbb8分即：1212248222kkkkbbbbbbbb，解得：22b。11分（3）由（2）知12*12221()122nnnbnkbkNnkb。当n为偶数时，213212424()()()(21)knkkkSSbbbbbbbb当n为奇数时，121224(21)(21)kknkkkSSSbbb。即：2*11224()(21)2()4(21)(21)21nnnnbnkbSkNbnkb。14分当n为偶数时，222112244()(21)4limlim22122nnnnnnnnbbSbbbbbbbbbb，15分当n为奇数时，112221121122422(21)(21)224limlim41222222nnnnnnnnnbbSbbbbbbbbbb。16分若1limnnnnSbb存在，则222242424bbbb，得222b，所以342b。17分综上知，当且仅当342b时1limnnnnSbb