第一次数学危机

第一次数学危机1.1背景第一次危机发生在公元前580—568年之间的古希腊，当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知。数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派是一个宗教、政治、学术合一且组织严密，带有浓厚宗教色彩的学派，这个学派进行了大量的教学研究，并取得了众多的数学发现。在当时他们一致认为“数”的中心地位随时可见，他们还提出了“万物皆数”这一论断。后期毕达哥拉斯学派成员费洛罗斯将这一观点清晰表达为：“人们所知道的一切事物都包含数；因此，没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。”世界上的万物和现象都只能通过数才能加以解释，唯有通过数和形，才能把握宇宙的本性，他们还指出“万物都可以归结为整数之比”并且相信宇宙的本质就在于这种“数的和谐”。1.2起源1.2.1“万物都可以归结为整数之比”比较两条线段a与b的长度，当b恰好是a的正整数r倍时，我们可以直接用a作为这两条线段的共同度量单位。当b不是a的正整数倍时，我们就要去找第三条线段d，使得a可以正好分成d的正整数倍，同时b也可以分成d的正整数倍，我们可以假设a的长度是d的m倍，b的长度是d的n倍，这时，我们说d就是a与b的度量单位，并说线段a与b是可公约或可公度的。这个过程相当于用比较短的线段当尺子去量长的，如果一次量尽，则度量结束；如果一次量不尽，就用余下的那段线段作为新的尺子去量那个比较短的线段，如果量尽，度量结束，且度量单位就是那段余下的线段；如果还是量不尽，就用再余下的那段线段作为新的尺子去量之前余下的那一段…如此下去，直到量尽，度量结束，且度量单位就是最后余下的那段线段。对于任意两条线段，毕达哥拉斯学派的成员相信上面的操作过程总会在进行了有限步之后结束，他们相信，只要有耐心总能找到那个度量单位的。所以，任何两个同类量都是可通约的，即万物都归结为整数之比1.2.2希帕索斯悖论希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。当毕达哥拉斯学派提出“任何两个量都是可公度的”时，古希腊人坦然地接受了这一似乎是无可怀疑的结论。毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。后来毕达哥拉斯学派的希帕索斯根据勾股定理通过逻辑推理发现等腰直角三角形的直角边与斜边不可公度！即这两条线段不存在共同的度量单位，不管度量单位取得多么小，都不可能成为等腰直角三角形的直角边与斜边的共同度量单位。即腰长为1的等腰直角三角形的斜边长度，竟然是一个无法写成为有理数的数。亦即是说有理数并非一切数，存在有理数以外的数，有理数不可以完全填满整条线段。这就是希帕索斯悖论：存在不可公度量！1.3危机的解决1.3.1无理数的出现毕达哥拉斯学派提出的所谓“任何两个量都是可度量的”就是指对于任何两条线段a与b，存在一条小线段d可作为a与b的共同度量单位，使得a=md,b=nd.这实际上意味着b：a=m：n,其中m与n都是整数。因此，当毕达哥拉斯学派相信任何两条线段a与b都可公度时，用我们现在的语言表述就是指任何两条线段的比是整数或是一个分数。简言之，是一个有理数。而希帕索斯不可公度量的发现就是指，等腰直角三角形的直角边与斜边的比既不是一个整数，也不是一个分数，或者简言之，不是一个有理数，而是一个当时人们完全不了解的全新的数，这类数后来被称为无理数。最早出现的无理数也与计数、测量有关。乘法的重复进行产生了乘方，2乘3就是三个2相乘，然而哪个数的平方会等于2呢？毕达哥拉斯学派提出了这个问题，边长为1的正方形的对角线的长度不是既约分数，后来用√2表示对角线的长度，无理数的概念初步形成。在欧几里德的《几何原本》中有关于√2不是有理数的一个证明，但据说是更早的毕达哥拉斯学派所作：设√2是既约分数p/q，即√2=p/q，则2q2=p2，这表明p2是偶数，p也是偶数（否则若p是奇数则p2是奇数），设p=2k，得q2=2k2，于是q也是偶数，这与p/q是既约分数矛盾。人类历史上诞生的第一个无理数就是希帕索斯发现的√2。1.3.2悖论所引发的问题为什么在当时无理数的发现会被认为是悖论并且引发如此严重的问题呢？首先，这一发现动摇了毕达哥拉斯学派的数学与哲学根基，它将推翻毕达哥拉斯学派“万物皆数”的基本哲学信条。其次，这一发现摧毁了建立在“任何两条线段都是可通约的”这一观点背后的数学观念。更重要的是，这一发现摧毁了人们通过经验与直觉获得的一些常识。简言之，这意味着，曾为人们的经验所确信的，完全符合常识的许多论断都要被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！要把这种“荒谬”的事承认下来是多么困难啊。事实上，不可通约量的发现对毕达哥拉斯学派是一个致命的打击，他对于当时所有古希腊人的观念都是一个极大的打击。不可通约量的发现所造成的影响，不但体现在猛烈抨击并摧毁了许多传统观念与毕达哥拉斯学派所坚持的观念上，而且表现在它对具体数学成果的否定上。事实上，当时毕达哥拉斯学派的许多几何定理证明都是建立在任何量都是可通约的基础上的。1.3.3芝诺悖论与毕氏学派诱发第一次数学危机的一个间接因素是之后“芝诺悖论”的出现，当人们还处在刚刚从自然数概念脱胎而形成有理数概念的早期阶段，对于无理数的概念一无所知。因此，当时人们的普遍见解是确信一切量都可以用有理数来表示。亦就是说，在任何精确度的范围内的任何量，总能表示为有理数，迫使人们去认识和理解自然数及其比不能包括几何量，迫使毕达哥拉斯学派承认希帕索斯悖论，并提出单子概念去解决这一悖论。单子概念是如此之小的度量单位以致本身是不可度量却又要保持为一种单位。这或许是企图通过无限来解决问题的最早努力。但是，毕氏学派的努力却又引起了芝诺认为“一个单子或者是0或者不是0，如果是0，则无穷多个单子相加也产生不了长度，如果不是0，则由无穷多个单子组成的有限长线段应该是无限长的。”不论何说都矛盾，这就是芝诺悖论。古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。1.3.4比理论古希腊人面对的难题是如何解决不可通约量或以我们现在的方式说是如何解决无理数，对他们来说，问题来自几何，只要研究线段等几何量，就不得不面对不可通约量，这是无法绕过去的。于是，古希腊人设想的思路是：在数的领域，仍然只承认整数或整数的比，只要在几何研究中，能解决几何量中出现的不可通约量问题就可以宣告万事大吉了。简言之，把数和量分开，研究的关键转向线段、面积、体积等几何量。令人称奇的是，古希腊人依照这种思路走下去竟然成功了。帮助古希腊人摆脱困境的关键一步是由才华横溢的欧多克索斯迈出的。欧多克索斯建立了既适用于可通约线段，也适用于不可通约量线段的完整的比理论。欧多克索斯本人的著作已经全部失传，不过，他的比例论成果被保存在欧几里得《几何原本》第五卷中，下面所介绍的内容来自《几何原本》第五卷，但其主要思想属于欧多克索斯。定义3：两个同类量之间的数量关系叫做比。定义4：如果一个量增大几倍后可以大于另一个量，则说这两个量有一个比。这个定义实际上允许了不可通约量的存在。比如对正方形对角线与边长这两个量来说，因为正方形的边长增加2倍后就可以超过其对角线，所以现在对两者就可以定义一个比了。也就是说这里创造的量的比这一新的数学定义已经突破了毕达哥拉斯所认为的只有可公度量才可以比的限制。实际上，如果承认“两个有限的同类量，任何一个加大适当的倍数都能大于另一个”（阿基米德公理）那么任何两个有限量都有比，而不必考虑是否可公度。定义5：a:b=c:d是指：如果对于任给的正整数m,n，只要manb,总有mcnd；只要ma=nb，总有mc=nd；只要manb,总有mcnd；这个定义的贡献在于：如果在只知道有理数而不知道无理数的情况下，它指出可以用全部大于某数和全部小于某数的有理数来定义该数，从而使可公度量与不可公度量都能参加运算。这一定义是整个比理论的基础。欧多克索斯的比例理论为处理无理数提供了逻辑依据，用几何方法消除了希帕索斯悖论引发的数学危机，事实上，19世纪的无理数理论是欧多克索斯思想的继承和发展．不过欧多克索斯理论是建筑在几何量的基础之上的，因而回避了把无理数作为数来处理．尽管如此，欧多克索斯的这些定义无疑给不可公度比提供了逻辑基础．为了防止在处理这些量时出错，他进一步建立了以明确公理为依据的演绎体系，从而大大推进了几何学的发展．从他之后，几何学成了希腊数学的主流．1.4第一次数学危机的影响希帕索斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，“数即万物”的世界观被极大的动摇了,有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱，导致了第一次数学危机，这一危机的影响是巨大的，它不仅推动了数学及其相关学科的发展，使古希腊数学的基础发生了根本性的变化，而且推动了整个科学的发展，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论，为数学分析的发展奠定了基础。在古希腊，数学和哲学是结盟的，哲学使古希腊的数学趋于抽象和真理，正是由于古希腊的哲学背景，使其有可能建立世界上第一个数学公理系统，并最终导致了近代科学的诞生。1.5结论这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时经过这次危机的洗礼，希腊人不得不承认：直觉、经验乃至实验都不是绝对可靠的，推理论证才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次变革，也是第一次数学危机的自然产物。欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。我个人认为第一次数学危机的产生最大的意义就是导致了无理数的产生，比如说我们现在说的，都无法用来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数i这使我不得不佩服人类的智慧。但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义，因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。