高考数学复习—不等式练习试题

高考数学复习—不等式练习试题第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(10×5′=50′)1.已知方程2x+x=0的实根为a,log2x=2-x的实根为b,log21x=x的实根为c,则()A.bcaB.cbaC.abcD.bac2.若a0,a2-2ab+c2=0,bca2,则()A.abcB.bcaC.cbaD.bac3.在满足面积与周长的数值相等的所有直角三角形中，面积的最小值是()A.(2-1)2B.2(2+1)2C.3(2-1)2D.4(2+1)24.设a、b∈R,那么“a2+b21”是“ab+1a+b”的()A.充要条件B.必要非充分条件C.充分非必要条件D.既非充分也非必要条件5.两个集合A与B之差记作“A/B”，定义为：A/B={x|x∈A,且xB},如果集合A={x|log2x1,x∈R},B={x||x-2|1,x∈R},那么A/B等于()A.{x|x≤1}B.{x|x≥3}C.{x|1≤x2}D.{x|0x≤1}6.已知loga2x1=logax2=log(a+1)x30,0a1,则x1、x2、x3的大小关系是()A.x3x2x1B.x2x1x3C.x1x3x2D.x2x3x17.设a、b、c是一个长方体的长、宽、高，且a+b-c=1,已知该长方体对角线长为1,且ba,则高c的取值范围是()A.,31B.1,31C.(0,1)D.31,08.某债券市场常年发行债券，A种债券面值为1000元，一年到期本息和为1040元；B种债券面值为1000元，但买入价为960元，一年到期本息和为1000元；C种面值为1000元，半年到期本息和为1020元.设这三种债券的年收益率分别为a、b、c，则a、b、c的大小关系是()A.a=c且abB.abcC.acbD.cab9.设an=21sin+222sin+…+nn2sin，则对任意正整数m、n（mn）都成立的不等式是()A.|am-an|mnm2B.|am-an|mnm2C.|am-an|n21D.|am-an|n2110.若关于x的不等式x2-ax-6a0有解且解区间长不超过5个单位长，则a的取值范围是()A.-25≤a≤1B.-25≤a0或1≤a24C.a≤-25或a≥1D.-25≤a-24或0a≤1二、填空题（4×4′=16′）11.使log2(-x)x+1成立的x的取值范围是.12.对于｜m｜≤1的一切实数m,使不等式2x-1＞m(x2-1)都成立的实数x的取值范围是.13.已知关于x的不等式(a+b)x+(2a-3b)0的解集为(-3,+∞),则log6ba2=.14.不等式(x-2)322xx≥0的解集是.三、解答题（4×10′+14′=54′）15.已知ai∈R+,niia1=S,求证:12nSaSann.16.甲、乙两地相距skm得超过ckm/h,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(km/h)的二次方成正比，且比例系数为b，固定部分为a元.（1）把全部运输成本y（元）表示为速度v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？17.不等式(-2)xa-3x-1-(-2)x0对于任意正整数x恒成立,求实数a的取值范围.18.设f(x)=x2+bx+c(b、c为常数)，方程f(x)-x=0的两个实根为x1、x2,且满足x10,x2-x11.(1)求证:b22(b+2c);(2)设0tx1,试比较f(t)与x1的大小;(3)若当x∈［-1,1］时，对任意的x都有|f(x)|≤1，求证：|1+b|≤2.19.已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,且f(1)=1.(1)若x∈N*,试求f(x)的表达式；(2)若x∈N*且x≥2时，不等式f(x)≥(a+7)x-(a+10)恒成立，求实数a的取值范围.不等式练习参考答案一、选择题1.A由已知得a0,b∈(1,2),c∈(0,1)，故bca.2.B由bca2知b,c同号.∵a2+c2=2ab,a2+b2≥2ab,∴b2≥c2.∵a0,∴b0.∴c0.∴b≥c.若b=c,可推出a=b=c,这与bca2矛盾.∴bc.∴b2bca2.∴ab.∴a(a-b)0.∵a2-2ab+c2=0,∴a2-2ab+bc0,a2-abab-bc.∴b(a-c)a(a-b)0.∴a-c0.∴ac.∴bca.3.D设两条直角边的长为a、b，则21ab=a+b+22ba.∴21ab≥2ab+ab2，整理，得21ab≥4(2+1)2.即面积的最小值为4(2+1)2.4.Cab+1a+b(a-1)(b-1)0.01,01ba或.01,01baa2+b21|a|1且|b|1-1a1,-1b1(a-1)(b-1)0ab+1a+b.易知ab+1a+ba2+b21.即a2+b21是ab+1a+b的充分非必要条件.5.D本题是一道信息题，考查考生阅读理解能力和自学能力.解题的关键在于理解“A/B”，联立不等式，得.0,1|2|,1log2xxx解得0x≤1,故选D.6.D取a=21满足条件，则log4x1=log21x2=log23x30.画出图象后知选D.7.D依题意有a2+b2+c2=1,即a2+b2=1-c2,a+b=1+c,∴ab=ccccbaba2222222)1()1(2)()(,易知a、b是关于x的方程x2-(1+c)x+c2+c=0的两个不相等的正根，∴依判别式Δ=(1+c)2-4(c2+c)0,可解得0c31,故选D.8.C分别对三种债券的年收益率进行计算:对A:a=04.0100010001040对B:b=041.09609601000对C:前半年的增长率为1002100010001020,且依题意，在后半年增长的钱数为1020×4.201002∴c=0404.010004.40显然大小关系为:acb.9.C∵|am-an|=mnnmnnmnnmnn2sin2)2sin(2)1sin(2sin2)2sin(2)1sin(2121nnmnmnn212112121212121,故选C.10.D由题设得,5||,024212xxaa(*)其中x1、x2是方程x2-ax-6a=0的两根，解(*)式得-25≤a-24或0a≤1,故选D.二、填空题11.(-1,0)分析用代数方法很难解决此类超越不等式问题，而转化为图象问题，则能直观得出答案.解在同一坐标系中作出y=log2(-x)及y=x+1的图象，由图象知,-1x0时，log2(-x)x+1,故x的取值范围是(-1,0).12.(3-1,2)将题目中的x与m互换,即问题可化为求使不等式2m-1＞x(m2-1),即(1-m2)x+(2m-1)＞0,在［-１,１］上恒成立的实数m的取值范围.令f(x)=(1-m2)x+(2m-1),则有;012,012mm或.02)1(,022)1(,01222mmfmmfm第11题图解即m=1或.20,13,1mmm或m＞3-1,0＜m＜2.所以3-1＜m＜2.故原题中实数x的取值范围是(3-1,2).13.2由已知，得(a+b)x3b-2a.若a+b0，不等式的解集为baab23,;若a+b0,不等式的解集为,23baab.由已知不等式的解集为（-3,+∞）得a+b0，且323baab.解得a=-6b0.∴log6ba2=log6b(-6b)2=2.14.{x|x=-1或x≥3}由于(x-2)322xx≥0,当x2-2x-3=0时，x1=-1,x2=3，适合不等式.当x2-2x-30时，x-2≥0，此时x3,故原不等式的解集为{x|x=-1或x≥3}.三、解答题15.证明构造a=naSaaSaaSa22222121,,,,b=(1aS,2aS,…,naS).因为a·b=a1+a2+…+an=S,｜a｜=nnaSaaSaaSa2222121,｜b｜=Sn)1(.所以S≤nnaSaaSaaSa2222121·Sn)1(.故nnaSaaSaaSa2222121≥1nS.16.解(1)依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs，全程运输成本为y=a·vs+bv2·vs=sbvva∴所求函数及其定义域为y=sbvvav∈(0，c)(2)依题意知s、a、b、v均为正数∴y=sbvva≥2sab当且仅当va=bv，即v=ba时，等号成立.若ba≤c，则当v=ba时，全程运输成本最小，最小值为2sab；若ba＞c，则当v∈(0，c)时，有s))(()(bvcavcvcsbcbvcavasbccasbvva∵v∈(0，c)∴cbab即a＞bc2∴a-bcv＞a-bc2＞0∴s)(cabcsvabv当且仅当v=c时，等号成立，即当v=c时，全程运输成本最小，最小值为sbcca.综上所述，为使全程运输成本最小，当bab≤c时，行驶速度应为v=babkm/h；当bab＞c时，行驶速度为ckm/h.点评利用平均值不等式求函数的最大值和最小值时，应注意必须具备三个条件：①都是正数；②和或积是一个常数；③这两个或三个正数可以相等.这三个条件缺一不可，本题中由v=ba不一定是定义域内的值，故要讨论说明.17.解①∵当x是正偶数时，a31x23+1恒成立,∴a小于函数f(x)=31x23+1在x取正偶数时的最小值.∵函数f(x)在x为正偶数时为增函数,∴f(x)≥f(2)=47,∴a47.②∵当x是正奇数时，a1-31x23恒成立,∴a大于函数g(x)=-31x23+1在x取正奇数时的最大值.∵函数g(x)在x为正奇数时为减函数,∴g(x)≤g(1)=21.∴a21.综上，a∈47,21.18.解（1）∵方程f(x)-x=0的两根为x1、x2,∴(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=b2-2b+1-4c.∵x2-x11,∴b2-2b+1-4c1.∴b22(b+2c).(2)∵x1是方程f(x)-x=0的根，∴x1=f(x1).∴f(t)-x1=f(t)-f(x1)=(t-x1)(t+x1+b)=(t-x1)(t+1-x2).∵0tx1,∴t-x10.∵x2-x11,∴x1+1-x20.∴t+1-x2x1+1-x20.故f(t)-x10.(3)∵x∈［-1,1］时，恒有|f(x)|≤1,∴|f(0)|=|c|≤1,|f(1)|=|1+b+c|≤1.∴|1+b|=|1+b+c-c|≤|1+b+c|+|-c|=|1+b+c|+|c|≤1+1=2.19.解(1)令y=1,则f(x+1)=f(x)+f(1)+2(x+1)+1∴f(x+1)-f(x)=2x+4∴当x∈N*时，有f(2)-f(1)=2×1+4f(3)-f(2)=2×2+4,f(4)-f(3)=2×3+4.…f(x)-f(x-1)=2(x-1)+4.将上面各式相加得f(x)=x2+3x-3(x∈N*).(2)当x∈N*且x≥2时，f(x)=x2+3x-3.要使不