高二数学同步测试(8)—双曲线及几何性质

高中学生学科素质训练高二数学同步测试（8）—双曲线及几何性质共150分，考试用时120分钟一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．设c、e分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线12222byax(a0,b0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是（）A．caB．cbC．eaD．eb2．双曲线)1(122nynx的两焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=,22n则△PF1F2的面积为（）A．21B．1C．2D．43．二次曲线1422myx，]1,2[m时，该曲线的离心率e的取值范围是（）A．]23,22[B．]25,23[C．]26,25[D．]26,23[4．已知椭圆22221(0)xyabab与双曲线22221(0,0)xymnmn有相同的焦点(,0)c和(,0)c.若c是,am的等比中项，2n是22m与2c的等差中项，则椭圆的离心率是（）A．12B．14C．22D．335．已知双曲线22221,(0,0)xyabab的左，右焦点分别为12,FF,点P在双曲线的右支上，且12||4||PFPF,则双曲线的离心率e的最大值为（）A．43B．53C．2D．736．如果双曲线1121322yx上一点P到右焦点的距离等于13，那么点P到右准线的距离是（）A．513B．13C．5D．1357．若双曲线2220)xykk（的焦点到它对应的准线的距离2，k=（）A．6B．8C．1D．48．设P是双曲线19222yax上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023Fyx、F2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1PF，则||2PF（）A．1或5B．6C．7D．99．若椭圆)0(122nmnymx与双曲)0,0(122babyax有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为（）A．amB．)(21amC．22amD．am10．双曲线方程为152||22kykx，那么k的取值范围是（）A．k＞5B．2＜k＜5C．－2＜k＜2D．－2＜k＜2或k＞511．双曲线的渐近线方程是y=±2x，那么双曲线方程是（）A．x2－4y2=1B．x2－4y2＝1C．4x2－y2=－1D．4x2－y2=112．过原点作直线l与双曲线13422yx相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．33,22B．33,,22C．33,22D．33,,22二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．设双曲线12222byax的一条准线与两条渐近线交于A、B两点，相应的焦点为F，若以AB为直径的圆恰好过F点，则离心率为14．双曲线122byax的离心率为5，则a:b=15．双曲线116922yx的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若021PFPF，则P到x轴的距离为16．设P是双曲线14222byx上一点，双曲线的一条渐近线方程为023yx，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则点P到双曲线右准线的距离是.三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(本题12分)给定双曲线xy2221。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程．18．(本题12分).若双曲线方程为xayb22221，AB为不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB中点，设AB、OM的斜率分别为kkABOM、，则kkbaABOM22．19．(本题12分)已知双曲线12222byax的离心率332e，过),0(),0,(bBaA的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5kkxy交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.20．(本题12分)某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？21．(本题12分)已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E满足ECAE，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当4332时，求双曲线离心率e的取值范围．22．(本题14分)直线12:1:22yxCkxyl与双曲线的右支交于不同的两点A、B.（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．参考答案（8）一．选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分）题号123456789101112答案DBCABAACADDB二．填空题（本大题有4小题,每小题4分,共16分）13．214.4或4115.51616.131314三解答题（本大题共6题，共74分）17．(本题12分)。分析：设Pxy111(,)，Pxy222(,)代入方程得xy121221，xy222221．两式相减得()()()()xxxxyyyy12121212120。又设中点P（x,y），将xxx122，yyy122代入，当xx12时得22201212xyyyxx·。又kyyxxyx121212，代入得24022xyxy。当弦PP12斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是8174127122()()xy。18．(本题12分)解：设A（xy11，），B（xy22，）则M（xxyy121222，）又A、B分别在xayb22221上，则有xaybxayb1221222222221112()()由()()12得xxayyb12222122220，即yyxxbayyxxyyxxba12221222221212121222，，kkbaABOM2219．(本题12分)∵（1）,332ac原点到直线AB：1byax的距离.3,1.2322abcabbaabd.故所求双曲线方程为.1322yx（2）把33522yxkxy代入中消去y，整理得07830)31(22kxxk.设CDyxDyxC),,(),,(2211的中点是),(00yxE，则.11,315531152002002210kxykkkxykkxxxBE,000kkyx即7,0,03153115222kkkkkkk又故所求k=±7.为了求出k的值,需要通过消元,想法设法建构k的方程.20．(本题12分)以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点为M，则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,750||AB,∴M在双曲线的右支上.故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往1625252222yxP处，按这种方法运土石最省工.21．(本题12分)显然，我们只要找到e与的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e的范围。如图建立坐标系，这时CD⊥y轴，因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。依题意，记A(－C,0)，C(,2Ch)，E(x0,y0),其中c=||21AB为双曲线的半焦距，h是梯形的高。由ECAE,即(x0+c,y0)=(2c－x0,h－y0)得:x0=1)1(2)2(0hyc.设双曲线的方程为12222byax,则离心率e=ac。由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和e=ac代入双曲线的方程得)2(1)1()12(4)1(1422222222bhebhe将（1）式代入（2）式,整理得42e(4-4)=1+2,故=1232e.依题设4332得432e3-1322,解得107e.所以双曲线的离心率的取值范围是107e.22．(本题14分)（１）将直线l的方程1kxy代入双曲线C的方程1222yx后，整理得.022)2(22kxxk……①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，AOBxDCyE故.22.022022,0)2(8)2(,0222222kkkkkkkk的取值范围是解得（2）设A、B两点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，则由①式得.22,22222221kxxkkxx……②假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.则由FA⊥FB得：.0)1)(1())((.0))((21212121kxkxcxcxyycxcx即整理得.01))(()1(221212cxxckxxk……③把②式及26c代入③式化简得.566).)(2,2(566566.066252的右焦点为直径的圆经过双曲线使得以可知舍去或解得CABkkkkk