计量经济学第二章作业

9.记样本回归模型为iiieXY10ˆˆ，试证明：（1）估计的Y的均值等于实测的Y的均值：YYˆ；（2）残差和为零，从而残差的均值为零：0ie，0e；（3）残差项与X不相关：0iiXe；（4）残差项与估计的Y不相关：0ˆiiYe。证明：（1）要证被解释变量的样本均值等于其估计值的平均值，即XYXXYββββββ）（10i10i10in1n1-n1n1又因为样本回归线经过）YX,(，则有YXYββ10（2）设）ββ（）（XYYYQi10iii--e222i采用普通最小二乘法准则，根据微积分学的多元函数极值原理，当Q对β1、β0的一阶偏导数为0时，Q达到最小值，即：00βQ，01βQ推出0--i10i）（ββXY①，0--ii10iXXY）（ββ，②要证残差和为0，及残差的均值为0，即0ei，由①得，0---eYiii10i）（）（ββYXY（3）要证残差与解释变量不相关，即0iieX，由②得，0--iiii10ieXXXY）（ββ（4）要证残差与解释变量的拟合值不相关，则有0i1i0i10iiieeeXXYββββ）（