数学归纳法教案(新)

教材背景：归纳是一种由特殊事例导出一般规律的思维方法．归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种．不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的．完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来．数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种推理方法，在数学问题的解决中有着广泛的应用．教学课题：数学归纳法教材分析：“数学归纳法”既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。它贯通了高中代数的几大知识点：不等式，数列，三角函数……在教学过程中，教师应着力解决的内容是：使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤（特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用）。只有真正了解了数学归纳法的实质，掌握了证题步骤，学生才能信之不疑，才能用它灵活证明相关问题。本节课是数学归纳法的第一节课，有两大难点：使学生理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中归纳假设的利用。不突破以上难点，学生往往会怀疑数学归纳法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。这会对以后的学习造成极大的阻碍。根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用“引导发现法”和“讲练结合法”。通过课件的动画模拟展示，引发和开启学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握概念的深层实质。教学目标1、知识和技能目标(1)了解数学推理的常用方法（归纳法）(2)了解数学归纳法的原理及使用范围。(3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。(4)会用数学归纳法证明一些简单的等式问题。2、过程与方法目标通过对归纳法的复习，说明不完全归纳法的弊端，通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力,学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。3.情感态度价值观目标通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养他们手脑并用，多思勤练的好习惯和勇于探索的治学精神。初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。教学重点和难点教学重点：（1）使学生理解数学归纳法的实质。（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用。教学难点：（1）数学归纳法的原理；教学方法：讲授法、引导发现法、类比探究法、讲练结合法教学过程：（一）复习引入问题（1）袋中有5个小球，如何证明它们都是红色的？（完全归纳法）问题（2）某人站在学校门口，看到连续有20个男生进入学校，于是深有感触的说这个学校的学生都是男生。（不完全归纳法）（二）新课讲解1、多米诺骨牌实验要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（1）第一张牌被推倒（奠基作用）（2）任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下（递推作用）于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。例1、证明：2462(1)nnn()nN证明：（1）当1n时，左边=2，右边=2，等式成立。（2）假设nk时等式成立，即2462(1)kkk那么，当1nk时，24622(1)kk(1)2(1)(1)(2)(1)[(1)1]kkkkkkk所以，1nk时等式也成立。由（1）和（2）可知，等式对于任何正整数n都成立。2、归纳总结数学归纳法证明步骤：(1)验证当n取第一个值0n（如0n=1或2时）命题正确。(2)假设当nk时0(,)kNkn命题正确，证明1nk时命题也正确。3．基础反馈①用数学归纳法证明：Nnaaaaaann,1111212在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（C）A．1B.a1C．21aaD.321aaa②用数学归纳法证明命题时，假设111()122kSkNkkk那么111121221kKSSkkk③判断下面的证明过程是否正确，如果不正确错在哪？证明：2222(1)(21)123()6nnnnnN证明：（1）当1n时，左边=1，右边=(11)(21)16等式成立（2）假设当nk时等式成立即2222(1)(21)1236kkkk当1nk时代入2222(1)(21)1236nnnn得22222123(1)(1)(2)(23)6(1)(1)12(1)16kkkkkkkk所以当1nk时等式成立由（1）和（2）可知等式对一切正整数均成立。（三）、课堂小结（1）理解数学归纳法的原理（2）数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推依据，最终给出结论。（3）数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题。（四）、作业:P372P391（五）、课后练习及探究:练习：P37(1)、(3)探究：下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程，你认为他的证法正确吗？为什么？证明：（1）当1n时左边=右边11112等式成立（2）假设当nk时命题成立即那么1nk时,左边11111(1)()()22312kk112(1)1kkk=右边即1nk时命题成立由（1）和（2）知，对一切自然数命题均成立。1)1(1321211nnnn212111111223(1)1kkkk（六）、预习：用数学归纳法证明不等式（七）、课后反思1.数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展．3．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．