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-1-第二章点、直线、平面之间的位置关系-2-2.1空间点、直线、平面之间的位置关系-3-2.1.1平面首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习学习目标思维脉络1.了解平面的概念,会用图形与字母表示平面.2.能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系.3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理,理解三个公理的地位与作用.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1231.平面描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的,是无限延展的画法通常把水平的平面画成一个平行四边形,并且其锐角画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍,如图(1)所示;如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强立体感,被遮挡部分用虚线画出来,如图(2)所示JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123记法(1)用一个希腊字母α,β,γ等来表示,如上图(1)中的平面记为平面α(2)用两个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示,如图(1)中的平面记为平面AC或平面BD(3)用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示,如图(1)中的平面记为平面ABC或平面BCD等(4)用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的顶点)来表示,如图(1)中的平面可记为平面ABCD名师点拨习惯上,用平行四边形表示平面;在一个具体的图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1232.点、线、面的位置关系的表示A是点,l,m是直线,α,β是平面.文字语言符号语言图形语言A在l上A∈lA在l外A∉lA在α内A∈αA在α外A∉αl在α内l⊂αl在α外l⊄α或JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123文字语言符号语言图形语言l,m相交于Al∩m=Al,α相交于Al∩α=Aα,β相交于lα∩β=lJICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123做一做1如图,点A平面ABC;点A平面BCD;BD平面ABD;平面ABC∩平面BCD=.答案:∈∉⊂BCJICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1233.平面的基本性质公理1文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内图形语言符号语言A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α作用判断点在平面内判断直线在平面内用直线检验平面JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123公理2文字语言过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面图形语言符号语言A,B,C三点不共线⇒有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α作用确定平面证明点共面JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123名师点拨由公理2可以得到三个推论,如下表.语言形式推论1推论2推论3文字语言经过一条直线和直线外的一点有且只有．．．．一个平面经过两条相交直线有且只有．．．．一个平面经过两条平行直线有且只有．．．．一个平面一条直线和其外一点确．定．一个平面两条相交直线确定．．一个平面两条平行直线确定．．一个平面JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123续表语言形式推论1推论2推论3图形语言符号语言A∉a⇒有且只有一个平面α,使A∈α,a⊂αa∩b=P⇒有且只有一个平面α,使a⊂α,b⊂αa∥b⇒有且只有一个平面α,使a⊂α,b⊂αJICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123做一做2两个平面重合的条件是()A.有三个公共点B.有无数个公共点C.有一条公共直线D.有两条相交公共直线解析:两条相交直线确定一个平面.答案:DJICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123公理3文字语言如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线图形语言符号语言P∈α∩β⇒α∩β=l且P∈l作用(1)判定平面相交(2)证明点共线(3)证明线共点JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123名师点拨公理3说明:如果两个平面有一个公共点,那么它们就有无数个公共点,而这些公共点都在一条直线上,即在它们的交线上.判一判正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面就是平行四边形.()(2)若A∈a,a⊂α,则A∈α.()(3)平静的太平洋面就是一个平面.()(4)两个平面的交线可能是一条线段.()答案:(1)×(2)√(3)×(4)×ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一文字语言、图形语言、符号语言的相互转化用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形,有几个平面且位置关系如何,有几条直线且位置关系如何,图中的直线和平面的位置关系如何,有几点且在哪条直线或哪个平面上等,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题1(1)用符号语言表示下列语句,并画出图形.①三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;②平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.(2)用文字语言和符号语言表示右图.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:(1)①符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC,图形表示如图所示.②符号语言表示:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC,图形表示如图所示.(2)文字语言:平面α内的直线m和n相交于点A.符号语言:m⊂α,n⊂α,且m∩n=A.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四变式训练1下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的是()解析:选项A错误,理由是两平面的交线没画出,且被遮挡的部分未用虚线画出;选项B,C都错误,理由是被遮挡的部分未用虚线画出.D正确.答案:DZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二证明点、线共面说明几个点或几条线在同一平面内是立体几何中常遇到的问题.这类问题的一般作法是:根据公理2及推论先由部分点或线确定一个平面,再用公理1说明其他点线也在这个平面内.在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结合图形写出已知与求证,然后再证明.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题2证明:两两相交且不过同一点的三条直线共面.已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.思路分析:先由l1与l2确定一个平面,再证明l3在这个平面内.证明:∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又∵l2⊂α,∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3,C∈l3,∴l3⊂α.∴直线l1,l2,l3在同一平面内.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四变式训练2已知直线a∥b,l∩a=A,l∩b=B.求证:a,b,l共面.证明:∵a∥b,∴直线a,b确定一个平面,记为α,如图.∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈l,B∈l,A∈α,B∈α.∴l⊂α,即直线a,b,l共面.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三证明多点共线公理3告诉我们,两个平面的公共点都在它们的交线上,据此,我们可以证明多点共线,方法是先说明这些点都同时在两个平面内,则这些点在两个平面的交线上,即它们共线.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题3已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线.思路分析:证明P,Q,R三点既在平面ABC内,也在平面α内,即得P,Q,R共线.证明:∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.∴由公理3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上,∴P,Q,R三点共线.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四变式训练3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1C∩平面ABC1D1=E.求证:B,E,D1三点共线.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四证明:如图所示,连接A1B,BD1,CD1.∵A1C∩平面ABC1D1=E,∴E∈A1C,E∈平面ABC1D1.∵A1C⊂平面A1BCD1,∴E∈平面A1BCD1.∵平面A1BCD1∩平面ABC1D1=BD1,∴E∈BD1,∴B,E,D1三点共线.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三探究四证明多线共点证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点;然后说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内,即该点在另一条直线上,则可得三线共点.典型例题4如图所示,三个平面α,β,γ两两相交于三条直线,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过同一点.思路分析:由a,b都在平面γ内且不平行,得a,b相交,再证明交点在c上,即证明交点在以c为交线的两个平面α,β内.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三证明:∵α∩γ=b,β∩γ=a,∴a⊂γ,b⊂γ.∵直线a和b不平行,∴a,b必相交.如图所示,设a∩b=P,则P∈a,P∈b.∵a⊂β,b⊂α,∴P∈β,P∈α.又α∩β=c,∴P∈c,即交线c经过点P.∴a,b,c三条直线相交于同一点.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三变式训练4证明:三棱台A1B1C1-ABC三条侧棱延长后相交于一点.证明:延长AA1,BB1.设AA1∩BB1=P,∵BB1⊂平面BC