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第八单元考点一考点二核心素养专项提升5.4数系的扩充与复数的引入第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-2-知识梳理双基自测2311.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如(a∈R,b∈R)的数叫复数,其中实部为,虚部为当b=0时,a+bi为实数;当a=0,且b≠0时,a+bi为纯虚数;当b≠0时,a+bi为虚数复数相等a+bi=c+di⇔实数能比较大小,虚数不能比较大小共轭复数a+bi与c+di共轭⇔(a,b,c,d∈R)实数a的共轭复数是a本身a+biaba=c,且b=da=c,且b=-d第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-3-知识梳理双基自测231内容意义备注复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面,叫实轴,y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ对应的复数为z=a+bi,则向量OZ的长度叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi||z|=|a+bi|=a2+b2x轴第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-4-知识梳理双基自测2312.复数的几何意义第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-5-知识梳理双基自测2313.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=;③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=;④除法:𝑧1𝑧2=𝑎+𝑏i𝑐+𝑑i=(𝑎+𝑏i)(𝑐-𝑑i)(𝑐+𝑑i)(𝑐-𝑑i)=𝑎𝑐+𝑏𝑑𝑐2+𝑑2+𝑏𝑐-𝑎𝑑𝑐2+𝑑2i(c+di≠0).(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(ad+bc)i第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-6-知识梳理双基自测231(2)复数加法的运算定律:复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=,(z1+z2)+z3=.(3)复数加、减法的几何意义z2+z1z1+(z2+z3)①复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量𝑂𝑍1,𝑂𝑍2不共线,则复数z1+z2是以𝑂𝑍1,𝑂𝑍2为两邻边的平行四边形的对角线𝑂𝑍所对应的复数;②复数减法的几何意义:复数z1-z2是𝑂𝑍1−𝑂𝑍2=𝑍2𝑍1所对应的复数.第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“×”.(1)若a∈C,则a2≥0.()(2)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数.()(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部为bi.()(4)方程x2+x+1=0没有解.()(5)由于复数包含实数,在实数范围内两个数能比较大小,因此在复数范围内两个数也能比较大小.()6×××××第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-8-知识梳理双基自测2341563.(1+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i答案解析解析关闭(1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-9-知识梳理双基自测2341564.3+i1+i=()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i答案解析解析关闭3+i1+i=(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=4-2i2=2-i,故选D.答案解析关闭D第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-10-知识梳理双基自测2341565.设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A.12B.22C.2D.2答案解析解析关闭由题意,得z=2i1+i=1+i,故|z|=12+12=2.答案解析关闭C第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-11-知识梳理双基自测234156.(教材习题改编P129TB1)已知(1+2i)=4+3i,则z=.𝑧答案解析解析关闭∵𝑧=4+3i1+2i=(4+3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=10-5i5=2-i,∴z=2+i.答案解析关闭2+i6第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-12-考点1考点2考点3考点1复数的有关概念(2)已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则的值为.思考利用复数的四则运算求复数的一般方法是什么?𝑎𝑏答案解析解析关闭(1)𝑧1𝑧2=4-2i1+i=(4-2i)(1-i)(1+i)(1-i)=2-6i2=1-3i.(2)(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,则1+𝑏=𝑎,1-𝑏=0,所以𝑎=2,𝑏=1,即𝑎𝑏=2.故答案为2.答案解析关闭(1)1-3i(2)2例1(1)(2019广西桂林高三一模)已知i为虚数单位,复数z1=4-2i,z2=1+i,则=.𝑧1𝑧2第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-13-考点1考点2考点3解题心得利用复数的四则运算求复数的一般方法:(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算.(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算化简.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-14-考点1考点2考点3对点训练1(1)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+i=2-bi,则(a+bi)2=()A.3-4iB.3+4iC.4-3iD.4+3i(2)已知(1-i)2𝑧=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i(3)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=()A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i答案解析解析关闭(1)∵a+i=2-bi,∴a+bi=2-i,即(a+bi)2=(2-i)2=4-4i-1=3-4i.(2)由已知得z=(1-i)21+i=-2i1+i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-2-2i2=-1-i.(3)∵(z-2i)(2-i)=5,∴z-2i=52-i.∴z=2i+52-i=2i+5(2+i)(2-i)(2+i)=2i+2+i=2+3i.故选A.答案解析关闭(1)A(2)D(3)A第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-15-考点1考点2考点3p1:|z|=2;p2:z2=2i;p3:z的共轭复数为1+i;p4:z的虚部为-1.其中正确的是()A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4考点2复数的有关概念例2(1)设z=1-i1+i+2i,则|z|=()A.0B.12C.1D.2(2)下面是关于复数z=2-1+i的四个结论:(3)(2019广东汕头二模)已知复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1·𝑧2是实数,则实数t等于()A.34B.43C.-43D.-34思考求解与复数概念相关问题的基本思路是什么?答案解析解析关闭(1)∵a+i=2-bi,∴a+bi=2-i,即(a+bi)2=(2-i)2=4-4i-1=3-4i.(2)由已知得z=(1-i)21+i=-2i1+i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-2-2i2=-1-i.(3)∵(z-2i)(2-i)=5,∴z-2i=52-i.∴z=2i+52-i=2i+5(2+i)(2-i)(2+i)=2i+2+i=2+3i.故选A.答案解析关闭(1)C(2)C(3)A第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-16-考点1考点2考点3解题心得求解与复数概念相关问题的基本思路:复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数以及求复数的实部、虚部都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-17-考点1考点2考点3对点训练2(1)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A.2+iB.2-iC.-1+iD.-1-iA.-4B.-45C.4D.45(2)复数z=-3+i2+i的共轭复数是()DD解析:(1)∵(3-4i)z=|4+3i|,∴z=53-4i=5(3+4i)(3-4i)(3+4i)=35+45i.(2)z=-3+i2+i=(-3+i)(2-i)(2+i)(2-i)=-5+5i5=-1+i,故z的共轭复数为-1-i.第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-18-考点1考点2考点3考点3复数的几何意义例3(1)设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.-5B.5C.-4+iD.-4-i思考复数具有怎样的几何意义?几何意义的作用是什么?2i1-iBA第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-19-考点1考点2考点3解析:(1)由复数除法的运算法则可得,2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=2i-22=-1+i,对应点为(-1,1)在第二象限内.故选B.(2)由题意知:z2=-2+i.又z1=2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选A.2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.解题心得1.复数z=a+bi(a,b∈R)Z(a,b)𝑂𝑍=(a,b).第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-20-考点1考点2考点3对点训练3(1)(2019广西崇左天等高级中学高三模拟)已知复数z=4-1-i,则复数𝑧在复平面内对应点的坐标为()A.(-2,-2)B.(-2,2)C.(2,2)D.(2,-2)(2)(2019广东广州高三二模)已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限,则实数m的取值范围是()A.(-∞,1)B.-∞,23C.23,1D.-∞,23∪(1,+∞)答案解析解析关闭(1)z=4-1-i=4(-1+i)(-1-i)(-1+i)=4(-1+i)2=-2+2i,𝑧=-2-2i,故复数𝑧在复平面内对应点的坐标为(-2,-2).(2)z=3m-2+(m-1)i,由题意,得3𝑚-20,𝑚-10,解得m23.答案解析关闭(1)A(2)B