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-1-9.1.1正弦定理课标阐释思维脉络1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题.3.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.4.能根据条件,判断三角形解的个数.5.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.课前篇自主预习一、三角形的面积1.思考在△ABC中,已知两边及这两边的夹角,能求出这个三角形的面积吗?提示:在△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,边a,b,c上的高分别记为ha,hb,hc,则ha=bsinC=csinB,hb=csinA=asinC,hc=asinB=bsinA.借助上述结论,如图,若已知△ABC中的边b,c,角A,那么c上的高CD=bsinA,△ABC的面积S=12bcsinA.同理可得S=12acsinB=12absinC.课前篇自主预习2.填空三角形面积公式的推广(1)S=12absinC=12acsinB=12bcsinA;(2)S=12r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).3.做一做已知△ABC的面积为32,且b=2,c=3,则A=.提示:因为b=2,c=3,S=32,S=12bcsinA,所以12·2·3·sinA=32,所以sinA=32,又因为A∈(0°,180°),所以A=60°或120°.答案:60°或120°课前篇自主预习二、正弦定理1.思考(1)在直角三角形中,你能由锐角正弦值的定义探究出角与边的等式关系吗?提示:在Rt△ABC中,设C为直角,如图,由三角函数的定义:sinA=𝑎𝑐,sinB=𝑏𝑐,所以c=𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin90°=𝑐sin𝐶.所以𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶.课前篇自主预习(2)在锐角△ABC中,以上关系式是否仍然成立?提示:在锐角△ABC中,设AB边上的高为CD,如图,CD=asinB=bsinA,所以𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,同理,作AC边上的高BE,可得𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶,所以𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶.课前篇自主预习(3)在钝角△ABC中,以上关系式是否仍然成立?提示:在钝角△ABC中,设C为钝角,如图,过点B作BD⊥AC于点D,则BD=asin(π-C)=asinC,BD=csinA,故有asinC=csinA,所以𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶.同理,𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,所以𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶.课前篇自主预习(4)如果☉O是任意△ABC的外接圆,直径为2R,则𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶是否为某个常数?提示:如图①、图②,分别作△ABC的外接圆直径CD,则CD=2R,连接DB,则∠DBC=90°,由sinA=sinD=𝑎2𝑅,得𝑎sin𝐴=2R.同理𝑏sin𝐵=2R.𝑐sin𝐶=2R,即𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2R.在如图③的直角三角形中,若AC为直径,则sinA=𝑎2𝑅.sinC=𝑐2𝑅,sinB=1=𝑏2𝑅,即𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2R.课前篇自主预习2.填空(1)正弦定理的表示文字语言在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等符号语言在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a𝑠𝑖𝑛A=b𝑠𝑖𝑛B=c𝑠𝑖𝑛C(2)正弦定理的变形𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2R(R为△ABC外接圆的半径).①sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c;②𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=𝑎+𝑏+𝑐sin𝐴+sin𝐵+sin𝐶=2R;③a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;④sinA=𝑎2𝑅,sinB=𝑏2𝑅,sinC=𝑐2𝑅.课前篇自主预习3.做一做(1)判断正误.①正弦定理只适用于锐角三角形.()②正弦定理不适用于钝角三角形.()③在某一确定的三角形中,各边的长与它的对角的正弦的比是定值.()④在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c.()解析:正弦定理适用于任意三角形,故①②均不正确;由正弦定理可知,三角形一旦确定,则各边的长与其所对角的正弦的比就确定了,故③正确;由比例性质和正弦定理可推知④正确.答案:①×②×③④课前篇自主预习(2)在△ABC中,下列式子与sin𝐴𝑎的值相等的是()A.𝑏𝑐B.sin𝐵sin𝐴C.sin𝐶𝑐D.𝑐sin𝐶解析:由正弦定理得𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶,所以sin𝐴𝑎=sin𝐶𝑐.故选C.答案:C课前篇自主预习(3)在△ABC中,A∶B∶C=4∶1∶1,则a∶b∶c=()A.4∶1∶1B.2∶1∶1C.2∶1∶1D.3∶1∶1解析:因为A+B+C=180°,A∶B∶C=4∶1∶1,所以A=120°,B=30°,C=30°.由正弦定理的变形公式,得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=sin120°∶sin30°∶sin30°=32∶12∶12=3∶1∶1.故选D.答案:D课前篇自主预习三、解三角形1.思考从正弦定理的表达形式上,你能说明正弦定理的基本作用吗?提示:(1)正弦定理说明在同一三角形中,各边的边长与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k使a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC;(2)𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶等价于𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,𝑐sin𝐶=𝑏sin𝐵,𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶.从而知正弦定理的基本作用:利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题:①已知两角和任意一边,求其他两边和第三个角;②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而求出其他的边和角.课前篇自主预习2.填空习惯上,我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素.已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形.课前篇自主预习3.做一做(1)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=2,b=6,B=120°,则a=()A.6B.2C.3D.2解析:由正弦定理,得6sin120°=2sin𝐶,所以sinC=12.又因为C是锐角,所以C=30°,所以A=30°,所以△ABC为等腰三角形,所以a=c=2.故选D.答案:D课前篇自主预习(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(3b-c)cosA=acosC,则cosA=.解析:由正弦定理,得(3sinB-sinC)cosA=sinAcosC,化简,得3sinBcosA=sin(A+C).因为sin(A+C)=sinB,所以3sinBcosA=sinB.因为0sinB≤1,所以cosA=33.答案:33(3)已知△ABC中,a=2,b=3,B=60°,那么角A等于.解析:由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,得2sin𝐴=3sin60°,解得sinA=22.又a=2b=3,所以AB,所以A=45°.答案:45°课前篇自主预习四、对三角形解的个数的判断1.思考(1)在△ABC中,若AB,一定有sinAsinB吗?反之,若sinAsinB,一定有AB吗?提示:由AB,得ab,所以2RsinA2RsinB,即sinAsinB;由sinAsinB,得2RsinA2RsinB,即ab.所以AB.(2)如何判断三角形解的个数?对于任意给定的a,b,A的值,能否确定一个三角形?提示:略课前篇自主预习2.填空已知三角形的两角和任意一边,求另两边和另一角,此时三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角,此时可能出现一解、两解或无解的情况,三角形不能被唯一确定.现以已知a,b和A解三角形为例予以说明:课前篇自主预习图形关系式解的个数A为锐角①a=bsinA;②a≥b一解③bsinAab两解absinA无解课前篇自主预习图形关系式解的个数A为钝角或直角ab一解④a≤b无解课前篇自主预习3.做一做不解三角形,判断下列三角形解的个数.(1)a=5,b=4,A=120°;(2)a=7,b=14,A=150°;(3)a=9,b=10,A=60°.解:(1)∵A为钝角且ab,∴△ABC有一解.(2)∵A为钝角且ab,∴△ABC无解.(3)∵bsinAab,∴△ABC有两解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测正弦定理的简单应用例1(1)在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.(2)在△ABC中,已知c=6,A=45°,a=2,解这个三角形.解:(1)因为A=45°,C=30°,所以B=180°-(A+C)=105°,由𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶,得a=𝑐sin𝐴sin𝐶=10×sin45°sin30°=102.所以b=𝑐sin𝐵sin𝐶=𝑐sin(𝐴+𝐶)sin𝐶=10×sin105°sin30°=20×2+64=52+56.所以B=105°,a=102,b=52+56.因为𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶,所以sinC=𝑐sin𝐴𝑎=6sin45°2=32,课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测因为C∈(0°,180°),ca,所以C=60°或C=120°.当C=60°时,B=75°,b=𝑐sin𝐵sin𝐶=6sin75°sin60°=3+1;当C=120°时,B=15°,b=𝑐sin𝐵sin𝐶=6sin15°sin120°=3-1.所以b=3+1,B=75°,C=60°或b=3-1,B=15°,C=120°.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测反思感悟正弦定理的两个应用(1)已知两角与任意一边解三角形的方法:如果已知三角形的任意两个角与一边解三角形时,由三角形内角和定理可以计算出三角形的第三个角,由正弦定理可计算出三角形的另两边.(2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法:首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值,若这个角不是直角,则利用三角形中大边对大角看能否判断所求这个角是锐角,当已知的角为大边所对的角时,则能判断另一边所对的角为锐角,当已知的角为小边所对的角时,则不能判断,此时就有两组解,再分别求解即可;然后由三角形内角和定理求出第三个角;最后根据正弦定理求出第三条边.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测延伸探究若将本例(2)中的条件“c=6”改为“c=2”,结果如何?解:由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶,可知sinC=𝑐sin𝐴𝑎=2sin45°2=12.因为ca,所以CA.所以C=30°.所以B=180°-45°-30°=105°.b=𝑐sin𝐵sin𝐶=2sin105°12=3+1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测变式训练1(1)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于()A.42B.43C.46D.4解析:易知A=45°,由𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,得b=𝑎sin𝐵sin𝐴=8·3222=46.答案:C(2)在△ABC中,若A=30°,BC=4,AC=42,则B等于()A.30°B.45°或135°C.60°D.135°解析:在△ABC中,由正弦定理,得4sin30°=42sin𝐵,即sinB=22,∵ACBC,∴BA,∴B=45°或135°.故选B.答案:B课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测(3)在△ABC中,若a=2,b=2,A=30°,则C=.解析:由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,得sinB=𝑏sin𝐴𝑎=2sin30°2=22.因为B∈(0°,180°),ba,所以