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-1-章末整合知识网络系统构建专题突破深化提升专题一专题二专题三专题一用基本不等式求最值(1)若m=1,求当x1时函数的最小值;(2)当x1时,函数有最大值-3,求实数m的值.分析:(1)由函数的形式可以看出,求最小值可用基本不等式求解;(2)当x1时,x-10,仍可用基本不等式求最值,利用等号成立的条件求参数m的值.例1已知函数y=x+𝑚𝑥-1(m0).专题突破深化提升专题一专题二专题三解:(1)当m=1时,y=x+1𝑥-1=x-1+1𝑥-1+1.∵x1,∴x-10.∴y=x-1+1𝑥-1+1≥2(𝑥-1)·1𝑥-1+1=3,当且仅当x-1=1𝑥-1,即x=2时取等号,所以当x1时函数的最小值为3.(2)∵x1,∴x-10,∴y=x-1+𝑚𝑥-1+1=-1-x+𝑚1-𝑥+1≤-2(1-𝑥)·𝑚1-𝑥+1=-2𝑚+1,当且仅当1-x=𝑚1-𝑥,即x=1-𝑚时取等号,即函数的最大值为-2𝑚+1,所以-2𝑚+1=-3,解得m=4.专题突破深化提升专题一专题二专题三方法技巧应用基本不等式求最值的技巧1.应用基本不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的条件进行,若具备这些条件,可直接运用基本不等式,若不具备这些条件,则应进行适当的变形.2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如尝试利用函数的单调性.(将在下章中学习)专题突破深化提升专题一专题二专题三变式训练1若实数a,b满足1𝑎+2𝑏=𝑎𝑏,则ab的最小值为()A.2B.2C.22D.4解析:(方法1)由已知得1𝑎+2𝑏=𝑏+2𝑎𝑎𝑏=𝑎𝑏,且a0,b0,∴ab𝑎𝑏=b+2a≥22·𝑎𝑏,当且仅当b=2a时等号成立,∴ab≥22.(方法2)由条件易知a0,b0,∴𝑎𝑏=1𝑎+2𝑏≥22𝑎𝑏,当且仅当b=2a时等号成立,∴ab≥22.答案:C专题突破深化提升专题一专题二专题三专题二解含参不等式例2解关于x的不等式ax2-(2a+3)x+60(a∈R).分析:首先讨论不等式的类型:(1)当a=0时,是一次不等式;(2)当a≠0时,是一元二次不等式,然后讨论a的符号,最后讨论两根与2的大小.3𝑎专题突破深化提升专题一专题二专题三解:当a=0时,化为x2;当a≠0时,原不等式可化为(ax-3)(x-2)0.当a0时,化为x-3𝑎(x-2)0,①当3𝑎2,即0a32时,解得x3𝑎或x2;②当3𝑎=2,即a=32时,解得x≠2;③当3𝑎2,即a32时,解得x2或x3𝑎.当a0时,化为x-3𝑎(x-2)0,解得3𝑎x2.综上所述:当a0时,原不等式的解集为3𝑎,2;当a=0时,原不等式的解集为(-∞,2);当0a32时,原不等式的解集为(-∞,2)∪3𝑎,+∞;当a=32时,原不等式的解集为(-∞,2)∪(2,+∞);当a32时,原不等式的解集为-∞,3𝑎∪(2,+∞).专题突破深化提升专题一专题二专题三方法技巧解含参不等式的一般方法(1)二次项系数不含参数且二次三项式不能分解因式时,对Δ的取值进行讨论.(2)二次项系数不含参数,二次三项式可分解因式时,主要根据两根大小进行比较,分x1x2,x1=x2,x1x2三种情况解答.(3)二次项系数含参数时,首先应讨论二次项系数a与0的关系,①当a=0时,不等式不是一元二次不等式,可直接解答;②当a≠0时,不等式是一元二次不等式,可分a0和a0两类,借助(1)(2)两种情况进行解答.专题突破深化提升专题一专题二专题三变式训练2已知常数a∈R,解关于x的不等式ax2-2x+a0.解:(1)若a=0,则原不等式为-2x0,故解集为{x|x0}.(2)若a0,Δ=4-4a2.①当Δ0,即0a1时,方程ax2-2x+a=0的两根为∴当0a1时,原不等式的解集为②当Δ=0,即a=1时,原不等式的解集为⌀.③当Δ0,即a1时,原不等式的解集为⌀.x1=1-1-𝑎2𝑎,x2=1+1-𝑎2𝑎,𝑥1-1-𝑎2𝑎𝑥1+1-𝑎2𝑎.专题突破深化提升专题一专题二专题三(3)若a0,Δ=4-4a2.①当Δ0,即-1a0时,原不等式的解集为②当Δ=0,即a=-1时,原不等式化为(x+1)20,∴当a=-1时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠-1}.③当Δ0,即a-1时,原不等式的解集为R.综上所述,当a≥1时,原不等式的解集为⌀;当0a1时,原不等式的解集为𝑥𝑥1+1-𝑎2𝑎或𝑥1-1-𝑎2𝑎.𝑥1-1-𝑎2𝑎𝑥1+1-𝑎2𝑎;专题突破深化提升专题一专题二专题三当a=0时,原不等式的解集为{x|x0};当-1a0时,原不等式的解集为当a=-1时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠-1};当a-1时,原不等式的解集为R.𝑥𝑥1+1-𝑎2𝑎或𝑥1-1-𝑎2𝑎;专题突破深化提升专题一专题二专题三专题三不等式中的恒成立问题例3已知关于x的不等式x2+mx4x+m-4.(1)若对一切实数x不等式恒成立,求实数m的取值范围;(2)若对一切大于1的实数x不等式恒成立,求实数m的取值范围.分析:(1)不等式为一元二次不等式,利用判别式小于0,即可求m的取值范围;(2)通过对一切大于1的实数x不等式恒成立,判断对应二次函数图象对称轴的位置及当x=1时y的值,即可求m的取值范围.专题突破深化提升专题一专题二专题三解:(1)将不等式x2+mx4x+m-4整理,转化为x2+(m-4)x-m+40.由Δ=(m-4)2-4(4-m)0,解得0m4.故m的取值范围是(0,4).(2)方法一将不等式x2+mx4x+m-4分离变量m,则原问题可等价于对一切大于1的实数x,m-𝑥2+4𝑥-4𝑥-1恒成立.∵-𝑥2+4𝑥-4𝑥-1=-(𝑥-1)2+2(𝑥-1)-1𝑥-1=-(x-1)+1𝑥-1+2≤-2+2=0,当且仅当x-1=1𝑥-1,即x=2时等号成立,∴m0.故实数m的取值范围为(0,+∞).专题突破深化提升专题一专题二专题三方法二令y=x2+(m-4)x-m+4.∵对一切大于1的实数x,y0恒成立,故m的取值范围是(0,+∞).方法技巧分离变量法解恒成立问题对于在区间D上,f(x)≥0(或f(x)≤0)型恒成立问题,我们一般利用分离变量法转化为求解最大(小)值问题.而对于一元二次不等式问题,可以借助对应二次函数的图象与性质求解,注意要讨论对称轴与区间D之间的关系,从而确定函数的最小(大)值.∴4-𝑚2≤1,1+𝑚-4-𝑚+4≥0或Δ=(m-4)2-4(4-m)0,解得m0.专题突破深化提升专题一专题二专题三变式训练3若关于x的不等式ax2-2x+20对于满足1x4的一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.解法一∵1x4,∴不等式ax2-2x+20可转化为a2𝑥-2𝑥2.令y=2𝑥-2𝑥2=-21𝑥−122+12≤12.∵141𝑥1,∴当1𝑥=12,即x=2时,函数取得最大值12,∴a12,即实数a的取值范围为12,+∞.专题突破深化提升专题一专题二专题三解法二依据a的取值进行分类讨论:(1)当a=0时,-2x+20在(1,4)上不成立;(2)当a0时,函数f(x)=ax2-2x+2的图象开口向下,对称轴为直线x=1𝑎,且1𝑎0,只需要x=4时,y≥0,此时无解;(3)当a0时,函数y=ax2-2x+2的图象开口向上,对称轴为直线x=1𝑎,且1𝑎0.①若1≤1𝑎≤4,需x=1𝑎时,y0,解得12a≤1.②若1𝑎4,需x=4时,y≥0,无解.③若01𝑎1,需x=1时,y≥0,则a1.综上,实数a的取值范围为𝑎𝑎12.专题突破深化提升