2021高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 第5节 椭圆 第1课时 椭圆及其性质课件 文 北师大

第九章平面解析几何第五节椭圆第1课时椭圆及其性质2[最新考纲]1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．3课前自主回顾41．椭圆的定义(1)我们把平面内到两个定点F1，F2的(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两定点F1，F2叫作椭圆的，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的．焦距距离之和等于常数焦点5(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.①当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a＜|F1F2|时，M点的轨迹不存在．62．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形7范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：________；对称中心：______顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)焦点坐标__________，__________________，_______半轴长长半轴长为___，短半轴长为___性质离心率e＝___，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2原点坐标轴F1(－c,0)F2(c,0)F1(0，－c)F2(0，c)abca8[常用结论]1．过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b2a，过焦点最长弦为长轴．2．过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.3．与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)有公共焦点的椭圆方程为x2a2＋λ＋y2b2＋λ＝1(λ＞－b2)．94．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若∠F1PF2＝θ，则(1)|PF1|＋|PF2|＝2a.(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sinθ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．(5)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.10一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(3)y2a2＋x2b2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．()(4)x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的焦距相等．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√11二、教材改编1．设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10D[依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.]122．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则椭圆C的方程是()A.x23＋y24＝1B.x24＋y23＝1C.x24＋y22＝1D.x24＋y23＝113D[设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝12，所以c＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝3，故椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.]143．过点A(3，－2)且与椭圆x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆的方程为()A.x215＋y210＝1B.x225＋y220＝1C.x210＋y215＝1D.x220＋y215＝115A[设所求椭圆的方程为x29＋λ＋y24＋λ＝1(λ＞－4)，则有99＋λ＋44＋λ＝1，解得λ＝6，故所求椭圆方程为x215＋y210＝1.]164．已知点P是椭圆x25＋y24＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．17152，1或152，－1[设P(xP，yP)，xP＞0，由题意知|F1F2|＝2.则S△PF1F2＝12×|F1F2|×|yP|＝1，解得|yP|＝1.代入椭圆的方程，得x25＋14＝1，解得x＝152，因此点P的坐标为152，1或152，－1.]18课堂考点探究19⊙考点1椭圆的定义及应用利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法求方程通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点P满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程求焦点三角形利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧20求最值抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值21(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x264－y248＝1B.x248＋y264＝1C.x248－y264＝1D.x264＋y248＝122(2)如图，椭圆x2a2＋y24＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为()A.233B.332C.334D.43323(3)设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________．24(1)D(2)D(3)－5[(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝168＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为x264＋y248＝1.25(2)由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|2＝4a2－16，由余弦定理得4a2－16＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，即4a2－16＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝163，∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin60°＝433，故选D.26(3)由题意知，点M在椭圆外部，且|PF1|＋|PF2|＝10，则|PM|－|PF1|＝|PM|－(10－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－10≥|F2M|－10.(当且仅当点P，M，F2三点共线时等号成立)又F2(3,0)，则|F2M|＝6－32＋4－02＝5.∴|PM|－|PF1|≥－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.]27解答本例T(3)的关键是差式(|PM|－|PF1|)转化为和式|PM|＋|PF2|－10.而转化的依据为|PF1|＋|PF2|＝2a.281.已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为()A.x212＋y211＝1B.x236－y235＝1C.x23－y22＝1D.x23＋y22＝129D[由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝23＞|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝3，c＝1，∴b＝2，∴动点P的轨迹方程为x23＋y22＝1，故选D.]302．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为23，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则椭圆C的标准方程为()A.x23＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x29＋y24＝1D.x29＋y25＝131D[由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝ca＝23，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为x29＋y25＝1，故选D.]323．已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________.333[设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝2a，r21＋r22＝4c2，所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝12r1r2＝b2＝9，所以b＝3.]34⊙考点2椭圆的标准方程求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法．根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．35(2)待定系数法．一般步骤如下：36(1)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为________．(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)，P2(3，2)，则椭圆的方程为________．(3)[一题多解]与椭圆x24＋y23＝1有相同离心率且经过点P(2，－3)的椭圆方程为________．37(1)x28＋y26＝1(2)x29＋y23＝1(3)y2253＋x2254＝1或x28＋y26＝1[(1)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，由点P(2，3)在椭圆上知4a2＋3b2＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，ca＝12.又c2＝a2－b2，联立4a2＋3b2＝1，c2＝a2－b2，ca＝12，得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为x28＋y26＝1.38(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程，则6m＋n＝1，①3m＋2n＝1，②由①②两式联立，解得m＝19，n＝13，∴所求椭圆的方程为x29＋y23＝1.39(3)法一：因为e＝ca＝a2－b2a＝1－b2a2＝1－34＝12，若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为x2m2＋y2n2＝1(m＞n＞0)，则1－nm2＝14，从而nm2＝34，nm＝32.又4m2＋3n2＝1，所以m2＝8，n2＝6.所以椭圆方程为x28＋y26＝1.40若焦点在y轴上，设椭圆方程为y2h2＋x2k2＝1(h＞k＞0)，则3h2＋4k2＝1，且kh＝32，解得h2＝253，k2＝254.故所求方程为y2253＋x2254＝1，故椭圆的方程为y2253＋x2254＝1或x28＋y26＝1.41法二：若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为x24＋y23＝t(t＞0)，将点P(2，－3)代入，得t＝224＋－323＝2.故所求方程为x28＋y26＝1；若焦点在y轴上，设方程为y24＋x23＝λ(λ＞0)，代入点P(2，－3)，得λ＝2512，故所求方程为y2253＋x2254＝1.故椭圆的方程为y2253＋x2254＝1或x28＋y26＝1.]42离心率相同的两个椭圆焦点可能在不同的轴上，因此要分类求解，如本例T(3)．431.已知a，b∈R，则“a＞0＞b”是“x2a－y2b＝1表示椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件44B[当a＞0＞b且a＝－b时，x2a－y2b＝1表示圆，充分性不成立；当x2a－y2b＝1表示椭圆时，a＞0＞b且a≠－b，必要性成立，所以“a＞0＞b”是“x2a－y2b＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故选B.]452．已知椭圆C