2021版高考数学一轮复习 第六章 数列 第2讲 等差数列及其前n项和课件 理 北师大版

数学第六章数列第2讲等差数列及其前n项和01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从_________起，每一项与前一项的差都是____________，那么这个数列就叫作等差数列，称这个常数为等差数列的______，常用字母______表示．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是_________，其中A叫做a，b的_________．A＝a＋b2等差中项第2项同一个常数公差d2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝_______________．(2)前n项和公式：Sn＝_____________＝_________．a1＋(n－1)dna1＋n(n－1)2d(a1＋an)n23．等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)通项公式的推广：an＝am＋_________(n，m∈N+)．(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则___________________．(3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为_________．(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．(n－m)dak＋al＝am＋an2d常用结论1．等差数列的函数性质(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d0，则为递增数列，若公差d0，则为递减数列．(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋n(n－1)2d＝d2n2＋a1－d2n是关于n的二次函数且常数项为0.(3)单调性：当d0时，数列{an}为递增数列；当d0时，数列{an}为递减数列；当d＝0时，数列{an}为常数列．2．记住两个常用结论(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1；②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn－1.(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为S2n－1T2n－1＝anbn.二、教材衍化1．已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第100项为________．解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.答案：4872．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．解析：由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝180.答案：1803．已知等差数列5，427，347，…，则前n项和Sn＝________．解析：由题知公差d＝－57，所以Sn＝na1＋n(n－1)2d＝114(75n－5n2)．答案：114(75n－5n2)4．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8＝________．解析：由已知可得a1＋5d＝2，5a1＋10d＝30，解得a1＝263，d＝－43，所以S8＝8a1＋8×72d＝32.答案：32一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N+，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．()(3)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．()×√√√二、易错纠偏常见误区(1)忽视等差数列中项为0的情况；(2)考虑不全而忽视相邻项的符号；(3)等差数列各项的符号判断不正确．1．已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d0，则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________．解析：由|a3|＝|a9|，d0，得a3＝－a9，即a3＋a9＝0，所以a6＝a3＋a92＝0.所以a50，a6＝0，a70.所以当n＝5或6时，Sn取最大值．答案：5或62．首项为30的等差数列{an}，从第8项开始为负数，则公差d的取值范围是________．解析：由题意知a1＝30，a80，a7≥0.即30＋7d0，30＋6d≥0，解得－5≤d－307.答案：－5，－3073．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N+)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________．解析：由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，所以n≤5时，an≤0，当n5时，an0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.答案：130等差数列基本量的计算(师生共研)(1)(一题多解)已知等差数列{an}中，a1＋a4＝76，a3＋a6＝56，则公差d＝()A.16B．112C．－16D．－112(2)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12(3)(2019·高考全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1≠0，a2＝3a1，则S10S5＝________．【解析】(1)通解：由a1＋a4＝76，a3＋a6＝56，得2a1＋3d＝76，2a1＋7d＝56，解得a1＝1724，d＝－112，故选D.优解：由等差数列的性质知，a3＋a6＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＝(a1＋a4)＋4d＝56，又a1＋a4＝76，所以d＝－112.故选D.(2)设等差数列{an}的公差为d，因为3S3＝S2＋S4，所以3(3a1＋3×22d)＝2a1＋d＋4a1＋4×32d，解得d＝－32a1，因为a1＝2，所以d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.(3)设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得d＝2a1，所以S10S5＝10a1＋10×92d5a1＋5×42d＝10a1＋10×92×2a15a1＋5×42×2a1＝10025＝4.【答案】(1)D(2)B(3)4等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．1．在公差不为0的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则15a4＝()A．－1B．0C．1D．2解析：选C.法一：设{an}的公差为d(d≠0)，由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a1＋2d)＋(a1＋10d)－3(a1＋4d)＝10，即2a1＋6d＝10，即a1＋3d＝5，故a4＝5，所以15a4＝1，故选C.法二：设{an}的公差为d(d≠0)，因为an＝am＋(n－m)d，所以由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a4－d)＋(a4＋7d)－3(a4＋d)＝10，整理得a4＝5，所以15a4＝1，故选C.法三：由等差数列的性质，得2a7＋3a3－3a5＝10，得4a5＋a3－3a5＝10，即a5＋a3＝10，则2a4＝10，即a4＝5，所以15a4＝1，故选C.2．设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则()A．S4S3B．S4＝S3C．S4S1D．S4＝S1解析：选B.设{an}的公差为d，由a2＝－6，a6＝6，得a1＋d＝－6，a1＋5d＝6，解得a1＝－9，d＝3.于是S1＝－9，S3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S4＝S3，S4S1，故选B.等差数列的判定与证明(师生共研)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1.数列{bn}满足b1＝2，bn＋1－2bn＝8an.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：数列bn2n为等差数列，并求{bn}的通项公式．【解】(1)当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1.因为a1＝1适合通项公式an＝2n－1，所以an＝2n－1.(2)证明：因为bn＋1－2bn＝8an，所以bn＋1－2bn＝2n＋2，即bn＋12n＋1－bn2n＝2.又b121＝1，所以bn2n是首项为1，公差为2的等差数列．所以bn2n＝1＋2(n－1)＝2n－1.所以bn＝(2n－1)×2n.等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．1．若数列{an}的前n项和为Sn，Sn≠0，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：1Sn成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以1Sn－1Sn－1＝2，又1S1＝1a1＝2，故1Sn是首项为2，公差为2的等差数列．(2)由(1)可得1Sn＝2n，所以Sn＝12n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－12(n－1)＝n－1－n2n(n－1)＝－12n(n－1).当n＝1时，a1＝12不适合上式．故an＝12，n＝1，－12n(n－1)，n≥2.2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．解：(1)证明：由题设知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．等差数列性质的应用(多维探究)角度一等差数列项的性质的应用(1)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是()A．20B．22C．24D．－8(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d为________．【解析】(1)因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.(2)设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得S奇＋S偶＝354，S偶∶S奇＝32∶27，解得S偶＝192，S奇＝162.又S偶－S奇＝