数学第六章数列第2讲等差数列及其前n项和01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1.等差数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从_________起,每一项与前一项的差都是____________,那么这个数列就叫作等差数列,称这个常数为等差数列的______,常用字母______表示.(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是_________,其中A叫做a,b的_________.A=a+b2等差中项第2项同一个常数公差d2.等差数列的有关公式(1)通项公式:an=_______________.(2)前n项和公式:Sn=_____________=_________.a1+(n-1)dna1+n(n-1)2d(a1+an)n23.等差数列的性质已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和.(1)通项公式的推广:an=am+_________(n,m∈N+).(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则___________________.(3)若{an}的公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为_________.(4)若{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.(5)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…构成等差数列.(n-m)dak+al=am+an2d常用结论1.等差数列的函数性质(1)通项公式:当公差d≠0时,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且一次项系数为公差d.若公差d0,则为递增数列,若公差d0,则为递减数列.(2)前n项和:当公差d≠0时,Sn=na1+n(n-1)2d=d2n2+a1-d2n是关于n的二次函数且常数项为0.(3)单调性:当d0时,数列{an}为递增数列;当d0时,数列{an}为递减数列;当d=0时,数列{an}为常数列.2.记住两个常用结论(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质①若项数为2n,则S偶-S奇=nd,S奇S偶=anan+1;②若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,S奇S偶=nn-1.(2)两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为S2n-1T2n-1=anbn.二、教材衍化1.已知等差数列-8,-3,2,7,…,则该数列的第100项为________.解析:依题意得,该数列的首项为-8,公差为5,所以a100=-8+99×5=487.答案:4872.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=________.解析:由等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,所以a5=90,所以a2+a8=2a5=180.答案:1803.已知等差数列5,427,347,…,则前n项和Sn=________.解析:由题知公差d=-57,所以Sn=na1+n(n-1)2d=114(75n-5n2).答案:114(75n-5n2)4.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8=________.解析:由已知可得a1+5d=2,5a1+10d=30,解得a1=263,d=-43,所以S8=8a1+8×72d=32.答案:32一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N+,都有2an+1=an+an+2.()(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.()(3)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()×√√√二、易错纠偏常见误区(1)忽视等差数列中项为0的情况;(2)考虑不全而忽视相邻项的符号;(3)等差数列各项的符号判断不正确.1.已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d0,则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________.解析:由|a3|=|a9|,d0,得a3=-a9,即a3+a9=0,所以a6=a3+a92=0.所以a50,a6=0,a70.所以当n=5或6时,Sn取最大值.答案:5或62.首项为30的等差数列{an},从第8项开始为负数,则公差d的取值范围是________.解析:由题意知a1=30,a80,a7≥0.即30+7d0,30+6d≥0,解得-5≤d-307.答案:-5,-3073.设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N+),则|a1|+|a2|+…+|a15|=________.解析:由an=2n-10(n∈N*)知{an}是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由an=2n-10≥0得n≥5,所以n≤5时,an≤0,当n5时,an0,所以|a1|+|a2|+…+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+…+a15)=20+110=130.答案:130等差数列基本量的计算(师生共研)(1)(一题多解)已知等差数列{an}中,a1+a4=76,a3+a6=56,则公差d=()A.16B.112C.-16D.-112(2)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12(3)(2019·高考全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1≠0,a2=3a1,则S10S5=________.【解析】(1)通解:由a1+a4=76,a3+a6=56,得2a1+3d=76,2a1+7d=56,解得a1=1724,d=-112,故选D.优解:由等差数列的性质知,a3+a6=(a1+2d)+(a4+2d)=(a1+a4)+4d=56,又a1+a4=76,所以d=-112.故选D.(2)设等差数列{an}的公差为d,因为3S3=S2+S4,所以3(3a1+3×22d)=2a1+d+4a1+4×32d,解得d=-32a1,因为a1=2,所以d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.故选B.(3)设等差数列{an}的公差为d,由a2=3a1,即a1+d=3a1,得d=2a1,所以S10S5=10a1+10×92d5a1+5×42d=10a1+10×92×2a15a1+5×42×2a1=10025=4.【答案】(1)D(2)B(3)4等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.1.在公差不为0的等差数列{an}中,4a3+a11-3a5=10,则15a4=()A.-1B.0C.1D.2解析:选C.法一:设{an}的公差为d(d≠0),由4a3+a11-3a5=10,得4(a1+2d)+(a1+10d)-3(a1+4d)=10,即2a1+6d=10,即a1+3d=5,故a4=5,所以15a4=1,故选C.法二:设{an}的公差为d(d≠0),因为an=am+(n-m)d,所以由4a3+a11-3a5=10,得4(a4-d)+(a4+7d)-3(a4+d)=10,整理得a4=5,所以15a4=1,故选C.法三:由等差数列的性质,得2a7+3a3-3a5=10,得4a5+a3-3a5=10,即a5+a3=10,则2a4=10,即a4=5,所以15a4=1,故选C.2.设数列{an}是等差数列,且a2=-6,a6=6,Sn是数列{an}的前n项和,则()A.S4S3B.S4=S3C.S4S1D.S4=S1解析:选B.设{an}的公差为d,由a2=-6,a6=6,得a1+d=-6,a1+5d=6,解得a1=-9,d=3.于是S1=-9,S3=3×(-9)+3×22×3=-18,S4=4×(-9)+4×32×3=-18,所以S4=S3,S4S1,故选B.等差数列的判定与证明(师生共研)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.数列{bn}满足b1=2,bn+1-2bn=8an.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:数列bn2n为等差数列,并求{bn}的通项公式.【解】(1)当n=1时,a1=S1=21-1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1.因为a1=1适合通项公式an=2n-1,所以an=2n-1.(2)证明:因为bn+1-2bn=8an,所以bn+1-2bn=2n+2,即bn+12n+1-bn2n=2.又b121=1,所以bn2n是首项为1,公差为2的等差数列.所以bn2n=1+2(n-1)=2n-1.所以bn=(2n-1)×2n.等差数列的四个判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2后,可递推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1,根据定义得出数列{an}为等差数列.(3)通项公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p对任意正整数n恒成立,根据定义判定数列{an}为等差数列.(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根据Sn,an的关系,得出an,再使用定义法证明数列{an}为等差数列.1.若数列{an}的前n项和为Sn,Sn≠0,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=12.(1)求证:1Sn成等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.解:(1)证明:当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以1Sn-1Sn-1=2,又1S1=1a1=2,故1Sn是首项为2,公差为2的等差数列.(2)由(1)可得1Sn=2n,所以Sn=12n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=12n-12(n-1)=n-1-n2n(n-1)=-12n(n-1).当n=1时,a1=12不适合上式.故an=12,n=1,-12n(n-1),n≥2.2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.(1)证明:an+2-an=λ;(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.解:(1)证明:由题设知anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1,由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.(2)由题设知a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2,因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.等差数列性质的应用(多维探究)角度一等差数列项的性质的应用(1)等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值是()A.20B.22C.24D.-8(2)一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则该数列的公差d为________.【解析】(1)因为a1+3a8+a15=5a8=120,所以a8=24,所以2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.(2)设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d.由已知条件,得S奇+S偶=354,S偶∶S奇=32∶27,解得S偶=192,S奇=162.又S偶-S奇=