2020版高考数学一轮复习 小专题串方法（六）课件 文 新人教A版

第八篇平面解析几何(必修2、选修1-1)返回导航小专题串方法(六)透析解析几何几类典型问题的解法解析几何是高中数学最主要的知识板块之一，在高考中占有重要位置．解析几何试题类型众多、解法灵活，但其中有很多类问题的解法具有一般性，下面我们以解析几何试题的类型为线索，总结其几类问题的解题方法．返回导航类型一中点问题已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()(A)x245＋y236＝1(B)x236＋y227＝1(C)x227＋y218＝1(D)x218＋y29＝1返回导航思路点拨：思路1，点差法，根据A，B在椭圆上，过点F，中点为(1，－1)，设出点A，B的坐标后，通过上述关系得出方程组，消掉A，B的坐标，得出a，b的方程组求出a，b；思路2.设出直线方程，消元后使用韦达定理得出a，b的方程解之．返回导航D解析：法一由题意知kAB＝12，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1.两式相减得（x1＋x2）（x1－x2）a2＋（y1＋y2）（y1－y2）b2＝0.返回导航由AB中点是(1，－1)知x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以b2a2＝y1－y2x1－x2＝12，即a2＝2b2，又a2－b2＝9，解得a2＝18，b2＝9，故椭圆方程为x218＋y29＝1.返回导航法二直线AB的斜率为12，所以直线AB的方程为x＝2y＋3，代入椭圆方程b2x2＋a2y2－a2b2＝0，得(4b2＋a2)y2＋12b2y＋9b2－a2b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据韦达定理，则y1＋y2＝－12b24b2＋a2，又AB中点坐标为(1，－1)，返回导航得y1＋y2＝－2，所以－12b24b2＋a2＝－2，即a2＝2b2，又a2－b2＝9，得a2＝18，b2＝9，椭圆方程的方程为x218＋y29＝1.返回导航【方法总结】直线y＝kx＋m与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，其中点M(x0，y0)，这类问题有两个基本的解决方法．(1)“点差法”，即A，B在圆锥曲线上，坐标适合圆锥曲线方程，得两个方程作差，通过分解因式，然后使用中点坐标公式、两点连线的斜率公式建立求解目标方程，解方程解决问题．(2)常规方法，即把直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得出一元二次方程后，使用韦达定理建立求解目标的方程后解决问题．返回导航类型二分点问题设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为()(A)y＝x－1或y＝－x＋1(B)y＝33(x－1)或y＝－33(x－1)(C)y＝3(x－1)或y＝－3(x－1)(D)y＝22(x－1)或y＝－22(x－1)返回导航思路点拨：|AF|＝3|BF|，即AF→＝3FB→，利用向量之间的关系建立方程或者方程组，求出点A的坐标或者直线AB的斜率．返回导航C解析：法一F(1，0)．设直线l：x＝ty＋1，则y2－4ty－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.|AF|＝3|BF|，即AF→＝3BF→，即AF→＝3FB→，即(1－x1，－y1)＝3(x2－1，y2)，由此得y1＝－3y2，代入y1＋y2＝4t，返回导航得y2＝－2t，y1＝6t，代入y1y2＝－4，得t2＝13，解得t＝±33.直线l的方程是x＝±33y＋1，即y＝±3(x－1)．返回导航法二F(1，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．|AF|＝3|BF|，即AF→＝3FB→.即(1－x1，－y1)＝3(x2－1，y2)，则x1＝4－3x2，y1＝－3y2.点A，B在抛物线C上，所以y21＝4x1，返回导航将x1＝4－3x2，y1＝－3y2代入，得9y22＝4(4－3x2)，又y22＝4x2，所以9x2＝4－3x2，解得x2＝13，y2＝±233，B(13，±233)．直线l的斜率即为直线BF的斜率，返回导航kBF＝±23313－1＝±3，所以直线l的方程为y＝±3(x－1)．返回导航法三抛物线的焦点F(1，0)，若A在第一象限，返回导航如图，设AF＝3m(m0)，|BF|＝m，过点B作AD的垂线交AC于G，则|AG|＝2m，|AB|＝4m，由此得|BG|＝23m，所以tan∠GAB＝3.直线AB的斜率为3.同理若A在第四象限，直线AB的斜率为－3.所以直线l的方程为y＝±3(x－1)．返回导航【方法总结】“直线与圆锥曲线相交的弦分点”，最基本的解法是本解析中方法为韦达定理得出点的坐标的两个方程、分点关系得出点的坐标的一个方程(横坐标或者纵坐标)，从三个方程中消去点的坐标，就得出了求解目标的方程，问题得解．解法2也是解决该类问题的基本方法，相对解法1，运算方面复杂一些．解法3是对抛物线焦点弦的一个专门解法，其特点是应用抛物线的定义把问题转化为解一个直角三角形．该类试题也经常以解答题的形式出现．返回导航类型三对称问题(1)设F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，若在直线x＝a2c上存在P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()(A)(0，22](B)(0，33](C)[22，1)(D)[33，1)返回导航(2)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为63，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为________．思路点拨：(1)P，F1两点关于其中垂线对称，利用点关于直线对称满足的关系，得出点P的纵坐标，然后分析其中的不等关系，得出离心率的取值范围；(2)先由公式e＝1－b2a2求出b2a2的值，再用点M，A，B的坐标表示斜率，并利用椭圆方程化简可得．返回导航解析：(1)设P(a2c，y)，F1P的中点Q的坐标为(a22c，y2)，由题P，F1关于QF2对称，则|PF2|＝2c，若满足题意，则2c≥a2c－c，即3c2－a2≥0，即e2≥13，故33≤e1.综上得33≤e1.故选D.返回导航(2)由e2＝1－b2a2＝69，得b2a2＝13，设M(x，y)，A(m，n)，B(－m，－n)，则k1·k2＝y－nx－m·y＋nx＋m＝y2－n2x2－m2，①把y2＝b21－x2a2，n2＝b21－m2a2代入①式并化简，可得k1·k2＝－13.答案：(1)D(2)－13返回导航【方法总结】(1)两点关于直线对称满足两个条件：一是两点连线和对称轴垂直，二是两点的中点在对称轴上．根据这两个条件就可以求解其中的一些未知量，到达解题的目的．(2)利用关于直线对称的两点到对称轴上同一个点的距离相等，可以把折线之和的最小值，转化为直线上两点间距离的最小值．返回导航类型四范围问题(1)已知M＝{x|x2＋x－12＜0}，任取b∈M，则直线l：x＋2y＋b＝0与圆C：x2＋y2－2x－2y－3＝0相交的概率为()(A)27(B)37(C)47(D)67返回导航(2)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点，则k的取值范围为()(A)－∞，－22(B)22，＋∞(C)22，＋∞(D)－∞，－22∪22，＋∞返回导航思路点拨：(1)先求出集合M，然后求出直线l和圆C相交所满足的条件，进而确定b的取值范围，最后代入几何概型公式求解即可．(2)联立直线与椭圆的方程，利用一元二次方程的根的判别式Δ＞0，即可求出k的取值范围．返回导航解析：(1)由x2＋x－12＜0，得－4＜x＜3，故M＝(－4，3)．圆C的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝5，其圆心为C(1，1)，半径为r＝5.由直线l和圆C相交，可得圆心C到直线l的距离小于圆的半径r，即|1＋2×1＋b|12＋22＜5，整理得|b＋3|＜5，解得－8＜b＜2.因为b∈M，所以－4＜b＜2.故所求事件的概率为P＝2－（－4）3－（－4）＝67，故选D.返回导航(2)由已知可得直线l的方程为y＝kx＋2，与椭圆的方程联立，整理得12＋k2x2＋22kx＋1＝0，因为直线l与椭圆有两个不同的交点，所以Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－2＞0，解得k＜－22或k＞22，即k的取值范围为－∞，－22∪22，＋∞.故选D.答案：(1)D(2)D返回导航【方法总结】(1)求解此类问题的关键是准确确定所求概率的概型，先利用直线和圆的位置关系求出参数的取值范围，然后直接代入相关公式求解即可．在求解参数的取值范围时，要利用圆心到直线的距离和圆的半径之间的大小关系来判断，如果直接联立方程，计算就变得比较繁琐．(2)在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，都不能忽视判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的重要环节．返回导航类型五最值问题若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为()(A)5(B)5(C)25(D)10思路点拨：先确定直线l过圆心，并求a，b满足的关系式，将问题转化为点(2，2)到动点(a，b)距离的平方的最小值，并用公式计算即可．返回导航解：由题意，知圆心M的坐标为(－2，－1)，所以－2a－b＋1＝0.因为(a－2)2＋(b－2)2表示点(a，b)与(2，2)的距离的平方，而（a－2）2＋（b－2）2的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.故选B.返回导航【方法总结】求解与圆有关的距离的最值问题：第一，先充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解；第二，先建立目标函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、三角函数法、基本不等式法等来求最值．返回导航类型六定点问题已知双曲线M：y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的上焦点为F，上顶点为A，B为虚轴的端点，离心率e＝233，S△ABF＝1－32.抛物线N的顶点在坐标原点，焦点为F.(1)求双曲线M和抛物线N的方程；(2)设动直线l与抛物线N相切于点P，与抛物线的准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点？如果经过，试求出该点的坐标，如果不经过，试说明理由．返回导航思路点拨：解决此类问题的主要思路是将问题通过坐标化转论为方程或不等式的相关问题，利用方程或不等式是否有解、解是否在指定区间内等来判断存在性．返回导航解：(1)双曲线中c＝a2＋b2，故由e＝233，得a2＋b2a＝233，解得a＝3b，故c＝2b.所以S△ABF＝12(c－a)×b＝12(2b－3b)×b＝1－32，解得b＝1.所以a＝3，c＝2.所以双曲线M的方程为y23－x2＝1.又抛物线的焦点为F(0，2)，所以抛物线N的方程为x2＝8y.返回导航(2)由(1)知，y＝18x2，故y′＝14x，抛物线的准线为y＝－2.设P(x0，y0)，则x0≠0，l的方程为y－y0＝14x0(x－x0)，即y＝14x0x－18x20.由y＝14x0x－18x20，y＝－2，得x＝x20－162x0，y＝－2.所以Qx20－162x0，－2.返回导航假设存在点R(0，y1)，使得以PQ为直径的圆恒过该点，则RP→·RQ→＝0对满足y0＝18x20(x0≠0)的x0，y0恒成立．由于RP→＝(x0，y0－y1)，RQ→＝x20－162x0，－2－y1，则x0×x20－162x0＋(y0－y1)(－2－y1)＝0，整理，得x20－162－2y0－y0y1＋2y1＋y21＝0，即(y21＋2y1－8)＋(2－y1)y0＝0，①返回导航由于①式对