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第2课时3线段的垂直平分线1.能够证明三角形三边的垂直平分线相交于一点.2.会作以a为底、高为h的等腰三角形.ABCD1.线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.2.线段的垂直平分线的作法.利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．【操作】剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线.结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点.怎样证明这个结论呢?点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.已知：在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点P；求证：点P也在AC的垂直平分线上.证明：连接AP，BP，CP.∵点P在线段AB的垂直平分线上,∴PA=PB.同理,PB=PC.∴PA=PC.∴点P在线段AC的垂直平分线上,∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点.ABCP【证明】定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.如图,在△ABC中,∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线,∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).ABCPabc【结论】1.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.【做一做】2．已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O.求证：OA=OB=OC．DCBAO【证明】∵AB=AC，AD是BC的中线，∴AD垂直平分BC(等腰三角形底边上的中线垂直平分底边)．又∵AB的垂直平分线交AD于点O，∴OA=OB=OC(三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等)．【例1】（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?已知：三角形的一条边a和这边上的高h.求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h.A1DCBAah(D)CBAahA1DCBAahA1【例题】提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全等.（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?这样的等腰三角形有无数多个.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．如图所示，这些三角形不都全等．(3)已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．【例2】已知：线段a，h.求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.作法：NMDCBahA【例题】1．作BC=a；2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；4．连接AB，AC.△ABC就是所求作的三角形.1.（烟台·中考）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）A．80°B．70°C．60°D．50°CBADEC2.下列说法错误的是()A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称【解析】选D.等边三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称，等腰三角形关于底边上的垂直平分线成轴对称，一般三角形不是轴对称图形，D选项没有说明三角形的形状，所以D选项说法错误.3.如图所示，在△ABC中，∠B＝22.5°,AB的垂直平分线交BC于点D，DF⊥AC于点F,并与BC边上的高AE交于G.求证：EG＝EC.FABCEGD【证明】连接AD.∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴DA＝DB,∴∠DAB＝∠B＝22.5°,∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°.∵AE⊥BC,∴∠DAE＝∠ADE＝45°,∴AE＝DE.又∵DF⊥AC,∴∠DFC＝∠AEC＝90°,∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°,∴∠CAE＝∠CDF,∴△DEG≌△AEC,∴EG＝EC.FABCEGD4.已知：线段a.求作：△ABC，使∠ACB=90°，AC=BC=a.【解析】作法：（1）作直线l.（2）在直线l上任取一条线段DE.（3）作线段DE的垂直平分线MN交DE于C.（4）在射线CE上截取CA=a,在射线CM上截取CB=a.（5）连接AB.△ABC就是所求作的三角形.1.证明了定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.2.已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形.ABCPabc自信和希望是青年人的特权。——大仲马