2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数概念与性质 3.2.1 单调性与最大（小）值 第二

第二课时函数的最大(小)值(一)教材梳理填空最大值最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足(1)∀x∈I，都有(2)∃x0∈I，使得(1)∀x∈I，都有(2)∃x0∈I，使得那么，我们称M是函数y＝f(x)的那么，我们称M是函数y＝f(x)的f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M最大值最小值(二)基本知能小试1．判断正误(1)任何函数都有最大(小)值．()(2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．()(3)函数的最大值一定比最小值大．()(4)若函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，则函数f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(－1)．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．－1,0B．0,2C．－1,2D．12，2解析：由图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1.答案：C3．设函数f(x)＝3x－1(x＜0)，则f(x)()A．有最大值B．有最小值C．既有最大值又有最小值D．既无最大值又无最小值解析：∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)＜f(0)＝－1，故选D.答案：D4．函数f(x)＝1x，x∈[1,2]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．解析：∵f(x)＝1x在区间[1,2]上为减函数，∴f(2)≤f(x)≤f(1)，即12≤f(x)≤1.答案：112题型一图象法求函数的最值问题[学透用活]函数的最值和值域的联系与区别(1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域．(2)区别：①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在；②若函数的最值存在，则一定是值域中的元素，例如，函数f(x)＝x2对任意的x∈R，都有f(x)≥－1，但是f(x)的最小值不是－1，因为－1不在f(x)的值域内；③若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．[典例1](1)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为()A．2B．1C．－1D．无最大值[解]选B在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图：根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象．所以当x＝1时，f(x)max＝1.(2)求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值．[解]y＝|x＋1|－|x－2|＝－3，x≤－1，2x－1，－1＜x＜2，3，x≥2.作出函数的图象，由图可知，y∈[－3,3]．所以函数的最大值为3，最小值为－3.[方法技巧]图象法求最值的步骤[对点练清]1．[已知图象求最值]函数f(x)在区间[－2,5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．－2，f(2)B．2，f(2)C．－2，f(5)D．2，f(5)解析：由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5)．答案：C2．[作函数图象求最值]已知函数f(x)＝x2，－1≤x≤1，1x，x＞1，求f(x)的最大值、最小值．解：作出函数f(x)的图象如图所示．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.题型二利用单调性求函数最值[学透用活]利用单调性求最值的常用结论(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．(3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．[典例2]已知函数f(x)＝2x＋1x＋1.(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；[解]f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1＋1x1＋1－2x2＋1x2＋1＝x1－x2x1＋1x2＋1.因为－1＜x1＜x2⇒x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0⇒f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解]由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)＝2×2＋12＋1＝53，最大值为f(4)＝2×4＋14＋1＝95.[方法技巧]利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．[提醒](1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．[对点练清]1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是()A．y＝1x＋2B．y＝3x－2C．y＝x2D．y＝1－x解析：选项B、C在[1,4]上均为增函数，选项A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最大值为3的是y＝1x＋2.答案：A2．二次函数f(x)＝12x2－2x＋3在[0，m]上有最大值3，最小值1，则实数m的取值范围是________．解析：因为f(x)＝12x2－2x＋3在[0,2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增．则当0m2时，f0＝3，fm＝1，此时无解；当2≤m≤4时，在x＝2处有最小值1，在x＝0或x＝4处有最大值3，此时条件成立；当m4时，最大值必大于f(4)＝3，此时条件不成立．综上可知，实数m的取值范围是[2,4]．答案：[2,4]3．求函数f(x)＝x＋4x在[1,4]上的最值．解：设1≤x1＜x2＜2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝x1－x2＋4x2－x1x1x2＝(x1－x2)·1－4x1x2＝(x1－x2)x1x2－4x1x2＝x1－x2x1x2－4x1x2.∵1≤x1＜x2＜2，∴x1－x2＜0，x1x2－4＜0，x1x2＞0，∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是减函数．同理：f(x)在[2,4]上是增函数．∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.题型三函数最值的实际应用[学透用活][典例3]一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式．(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？[解](1)当0＜x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝－x2＋32x－100，0＜x≤20，160－x，x＞20(x∈N*)．(2)当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，当x＝16时，ymax＝156.而当x＞20时，160－x＜140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．[方法技巧]求解实际问题的四个步骤(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)．(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转换成函数问题．(3)求解：选择合适的数学方法求解函数．(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，作出解释或预测．[对点练清]1．用长度为24m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________m.解析：设隔墙长度为xm，场地面积为Sm2，则S＝x·24－4x2＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18.所以当x＝3时，S有最大值．答案：32．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？解：设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1000－10x)个，则y＝(x－40)(1000－10x)＝－10(x－70)2＋9000.故当x＝70时，ymax＝9000.即售价为70元时，利润最大值为9000元．[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为()A．f32，f－32B．f(0)，f32C．f－32，f(0)D．f(0)，f(3)解析：观察函数图象可知，f(x)的最大值、最小值分别为f(0)，f32.答案：B2．函数y＝x－1x在[1,2]上的最大值为()A．0B．32C．2D．3解析：因为函数y＝x－1x在[1,2]上是增函数，所以ymax＝2－12＝32.答案：B3．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a＜b＜3)上有最大值9，最小值－7，则a＝______，b＝______.解析：y＝－(x－3)2＋18，∵a＜b＜3，∴f(x)在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0，－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2.答案：－204．函数f(x)＝11－x1－x的最大值为________．解析：f(x)＝11－x＋x2＝1x－122＋34，∵x－122＋34≥34，∴f(x)≤43，故f(x)的最大值为43.答案：43二、创新应用题5．求函数f(x)＝x2x－3在区间[1,2]上的最大值和最小值．解：任取x1，x2，且1≤x1＜x2≤2，则f(x1)－f(x2)＝x21x1－3－x22x2－3＝x21x2－3x21－x1x22＋3x22x1－3x2－3＝x2－x1[3x1＋x2－x1x2]x1－3x2－3.因为1≤x1＜x2≤2，所以2＜x1＋x2＜4，即6＜3(x1＋x2)＜12，又1＜x1x2＜4，x2－x1＞0，故f(x1)－f(x2)＞0.所以函数f(x)＝x2x－3在区间[1,2]上为减函数，所以f(x)max＝f(1)＝－12，f(x)min＝f(2)＝－4.