2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第二课时 一元二次不

第二课时一元二次不等式及其解法习题课[目标导航]课标要求1.在掌握一元二次不等式解法的基础上,能够根据一元二次不等式的解集,确定不等式中参数的值.2.能够求解与一元二次不等式相关的不等式恒成立问题.3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.素养达成通过对本节习题课的学习,培养学生逻辑推理与数学建模能力.题型一三个“二次”关系的应用课堂探究·素养提升[例1]已知一元二次不等式x2+px+q0的解集为{x︱-12x13},求不等式qx2+px+10的解集.解:因为x2+px+q0的解集为{x︱-12x13},所以x1=-12与x2=13是方程x2+px+q=0的两个实数根,由根与系数的关系得11,3211(),32pq解得1,61.6pq所以不等式qx2+px+10即为-16x2+16x+10,整理得x2-x-60,解得-2x3.即不等式qx2+px+10的解集为{x|-2x3}.方法技巧(1)一元二次不等式ax2+bx+c0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,也是函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标.(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分,是由不等式ax2+bx+c0的x的值构成的;图象在x轴下方的部分,是由不等式ax2+bx+c0的x的值构成的.即时训练1-1:(1)(2019·泰安高二检测)已知不等式ax2-5x+b0的解集为{x|-3x2},则不等式bx2-5x+a0的解集为()(A){x︱-13x12}(B){x︱x-13或x12}(C){x|-3x2}(D){x︱x-12或x13}解析:(1)由题意可知,ax2-5x+b=0的两个根分别为-3,2,利用根与系数的关系可得,-3+2=5a,-3×2=ba,解得a=-5,b=30,则所求不等式可化为30x2-5x-50,即(2x-1)(3x+1)0,解得x-13或x12.故选B.答案:(1)B(2)一元二次不等式ax2+bx+20的解集是(-12,13),则a-b的值是.解析:(2)由题意可得方程ax2+bx+2=0的两个根为-12和13,由根与系数的关系可得-12+13=-ba,-12×13=2a,解得a=-12,b=-2,所以a-b=-10.答案:(2)-10[备用例1](1)关于x的不等式x2-2ax-8a20(a0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a等于()(A)52(B)72(C)154(D)152(1)解析:由不等式x2-2ax-8a20(a0)的解集为(x1,x2),知x1,x2为方程x2-2ax-8a2=0的两根,则x1+x2=2a,x1x2=-8a2,由(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2,得(2a)2-4×(-8a2)=36a2=152,解得a=52(负值舍去),故选A.(2)已知不等式ax2+bx+c0的解集为{x|2x3},求不等式cx2-bx+a0的解集.(2)解:由题意知23,23,0,bacaa＜即5,6,0.bacaa＜代入不等式cx2-bx+a0,得6ax2+5ax+a0(a0).即6x2+5x+10,解得-12x-13,所以所求不等式的解集为{x︱-12x-13}.题型二不等式中的恒成立问题[例2]设函数f(x)=mx2-mx-1.(1)若对于一切实数x,f(x)0恒成立,求m的取值范围;解:(1)要使mx2-mx-10恒成立,若m=0,显然-10.若m≠0,20,40mmm＜＜⇒-4m0.所以m的取值范围为(-4,0].(2)对于x∈[1,3],f(x)-m+5恒成立,求m的取值范围.解:(2)法一要使f(x)-m+5在x∈[1,3]上恒成立,就要使m(x-12)2+34m-60在x∈[1,3]上恒成立.令g(x)=m(x-12)2+34m-6,x∈[1,3].当m0时,g(x)在[1,3]上是增函数,所以g(x)max=g(3)=7m-60.所以0m67.当m=0时,-60恒成立.当m0时,g(x)在[1,3]上是减函数,所以g(x)max=g(1)=m-60,得m6.所以m0.综上所述,m67.即m的取值范围为(-∞,67).法二当x∈[1,3]时,f(x)-m+5恒成立,即当x∈[1,3]时,m(x2-x+1)-60恒成立.因为x2-x+1=(x-12)2+340,m(x2-x+1)-60,所以m261xx.因为函数y=261xx=2613()24x在[1,3]上的最小值为67,所以只需m67即可,即m的取值范围为(-∞,67).方法技巧(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是自变量,求谁的范围,谁就是参数.分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法.a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max(f(x)存在最大值);a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min(f(x)存在最小值).(2)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴下方.即时训练2-1:关于x的不等式(1+m)x2+mx+mx2+1对x∈R恒成立,求实数m的取值范围.解:原不等式等价于mx2+mx+m-10,对x∈R恒成立,当m=0时,0·x2+0·x-10对x∈R恒成立.当m≠0时,由题意,得20,4(1)0mmmm＜＜⇔20,340mmm＜＞⇔0,40,3mmm＜＜或＞⇔m0.综上,m的取值范围为m≤0.[备用例2](1)(2019·山东师大附中高二月考)已知f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.解:(1)法一令g(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a,x∈[-1,+∞),因此当x∈[-1,+∞)时要使f(x)≥a恒成立,只要不等式x2-2ax+2-a≥0恒成立,结合二次函数图象(如图).所以Δ=4a2-4(2-a)≤0或0,1,(1)0,ag＞解得-3≤a≤1.法二f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为x=a.当a∈(-∞,-1]时,结合图象知f(x)在[-1,+∞)上单调递增,所以f(x)最小值=f(-1)=2a+3.所以要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)最小值≥a,即2a+3≥a,解得-3≤a≤-1.当a∈(-1,+∞)时,f(x)最小值=f(a)=2-a2,由2-a2≥a,解得-1a≤1.综上所述,所求a的取值范围为[-3,1].(2)已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.①如果对一切x∈R,f(x)0恒成立,求实数a的取值范围;解:(2)①由于对一切x∈R,f(x)0恒成立,故Δ=4(a-2)2-160⇒0a4.解:②由于对x∈[-3,1],f(x)0恒成立,故(2)3,(3)0af＜＞或3(2)1,0a＜或(2)1,(1)0,af＞＞分别解得a∈或1≤a4或-12a1,所以a的取值范围为(-12,4).②如果对x∈[-3,1],f(x)0恒成立,求实数a的取值范围.题型三一元二次不等式的实际应用[例3]某摩托车生产企业,上年度生产车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆,本年度为适应市场需要,计划提高产品档次,适度增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1),则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时预计年销量增加的比例为0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x之间的关系式;规范解答:(1)每辆车投入成本增加的比例为x,则每辆车投入成本为1×(1+x)万元,出厂价为1.2×(1+0.75x)万元,年销量为1000×(1+0.6x)辆.……………………………………3分所以y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1000×(1+0.6x),即y=-60x2+20x+200(0x1).…………………………6分(2)为使本年度的利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内?规范解答:(2)欲保证本年度的利润比上年度有所增加,则(1.21)10000,01,yx＞＜＜…………………………9分即260200,0xxx＞＜＜1.……………………………11分所以0x13.即为保证本年度的利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x应在(0,13)范围内.………………………12分方法技巧用一元二次不等式求解实际应用题的一般步骤(1)审题:弄清题意,分析条件和结论,理顺数量关系;(2)建模:建立一元二次不等式模型;(3)求解:解一元二次不等式;(4)还原:把数学结论还原为实际问题.即时训练3-1:某企业上年度的年利润为200万元,本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本,投入成本增加的比例为x(0x1).现在有甲、乙两种方案可供选择,通过市场调查后预测,若选用甲方案,则年利润y万元与投入成本增加的比例x的函数关系式为y=f(x)=-20x2+60x+200(0x1);若选用乙方案,则y与x的函数关系式为y=g(x)=-30x2+65x+200(0x1).试讨论根据投入成本增加的比例x,如何选择最适合的方案?解:f(x)-g(x)=(-20x2+60x+200)-(-30x2+65x+200)=10x2-5x.由10x2-5x≥0,解得x≥12或x≤0(舍去).所以当投入成本增加的比例x∈(0,12)时,选择乙方案;当投入成本增加的比例x∈(12,1)时,选择甲方案;当投入成本增加的比例x=12时,选择甲或乙方案都可以.[备用例3](1)(2019·温州高二检测)国家原计划以2400元/t的价格收购某种农产品mt.按规定,农民向国家纳税:每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8%).为了减轻农民负担,制定积极的收购政策,根据市场规律,税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点.试确定x的取值范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.解:(1)“税率降低x个百分点”,即调节后税率为(8-x)%;“收购量能增加2x个百分点”时,总收购量为m(1+2x%)t,总收购价为2400m(1+2x%)元;“总收入不低于原计划的78%”,即税率调低后,税收总收入≥2400m×8%×78%.设税率调低后的“税收总收入”为y元,y=2400m(1+2x%)(8-x)%=-1225m(x2+42x-400)(0x≤8),所以y≥2400m×8%×78%,即x2+42x-88≤0,解得-44≤x≤2,又0x≤8,所以0x≤2,所以x的取值范围是0x≤2.(2)如图,某校有一块形如直角三角形ABC的空地,其中∠B为直角,AB长40米,BC长50米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且B为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.解:(2)如图,设矩形为EBFP,FP长为x米,其中0x40.设健身房占地面积为y平方米.因为△CFP∽△CBA,所以FPBA=CFCB,即40x=5050BF,求得BF=50-54x.所以y=BF·FP=(50-54x)x=-54x2+50x=-54(x-20)2+500≤500.当且仅当x=20时,等号成立.所以该健身房的最大占地面积为500平方米.题型四易错辨析——忽略对二次项系数的讨论致误【例4】若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40对x∈R恒成立,求实数a的取值范围.错解:不等式(a-2)x2+2(