搜索
2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样[目标导航]课标要求1.了解系统抽样和分层抽样.2.会用系统抽样、分层抽样从总体中抽取样本.3.了解三种抽样方法的联系和区别.素养达成通过系统抽样和分层抽样的概念的学习,系统理解三种抽样方法,逐步提升学生的数学抽象、数据分析等数学核心素养.新知导学·素养养成系统抽样与分层抽样类别概念步骤特点共同点相互联系系统抽样在抽样中当总体个体数较多时,可将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需的样本,这种抽样方法叫做系统抽样一般地,假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.①先将总体的N个个体编号,有时可直接利用个体自身所带的号码;②确定分段间隔k,对编号进行分段.当Nn(n是样本容量)是整数时,取k=Nn;当Nn不是整数时,可先从总体中随机地剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被n整除;总体容量较大,个体之间无明显差异(1)不放回抽样;(2)每个个体被抽到的可能性相等(1)系统抽样第1段内采用简单随机抽样抽取.(2)系统抽样若需剔除个体时则采用简单随机抽样法剔除.(3)分层抽样在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k);④按照一定的规则抽取样本.通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l+k),再加k得到第3个个体编号(l+2k),依次进行下去,直到获取整个样本分层抽样一般地,在抽样时,将总体分成的层,然后按照一定的,从独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫做分层抽样①根据已经掌握的信息,将总体分成互不交叉的层;②根据总体中的个数N和样本容量n计算抽样比k=nN;③确定第i层应该抽取的个体数为ni=Ni·k(Ni为第i层所包含的个体数),使得各ni之和为n;④按步骤③中确定的个体数在各层中随机地抽取个体,合在一起便得到容量为n的样本总体由差异明显的几部分组成,分层按比例抽取互不交叉比例各层思考:在系统抽样中,若Nn不是整数,则需剔除几个个体使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除.那么,从总体中剔除一些个体时,采用的方法是什么?在整个抽样过程中,对于被剔除者是否公平?答案:剔除一些个体可采用简单随机抽样抽取.因为剔除个体是随机的,每个个体被剔除的可能性是相等的,若需剔除m个个体,则在整个抽样过程中,每个个体被抽取的可能性仍是nN,因此,从整个过程来看,对于被剔除者仍是公平的,保证了抽样的公平性.名师点津(1)分层抽样的步骤分层→定抽样比→定各层抽样的数目→抽样个体(2)系统抽样的步骤课堂探究·素养提升题型一系统抽样的判断方法与设计[例1](1)某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额,采用如下方法:从某本发票的存根中随机抽一张,如15号,然后按顺序将65号,115号,165号,…发票上的销售金额组成一个调查样本.这种抽取样本的方法是()(A)抽签法(B)随机数法(C)系统抽样法(D)以上都不对解析:(1)题中抽样方法是将发票平均分成若干组,每组50张,从第一组抽出了15号,以后各组抽15+50n(n∈N)号,符合系统抽样的特点.故选C.答案:(1)C(2)某初级中学领导采用系统抽样方法,从该校预备年级800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查.现将800名学生从1到800进行编号,求得间隔数k=80050=16,即每16人抽取一个人.在1～16中随机抽取一个数,如果抽到的是7,则从33～48这16个数中应取的数是.解析:(2)因为采用系统抽样方法,每16人抽取一个人,1～16中随机抽取一个数抽到的是7,所以在第k组抽到的数是7+16(k-1),所以从33～48这16个数中应取的数是7+16×2=39.答案:(2)39方法技巧判断一个抽样是否为系统抽样:(1)首先看是否在抽样前知道总体是由什么组成,多少个个体;(2)再看是否将总体分成几个均衡的部分,并在每一个部分中进行简单随机抽样;(3)最后看是否等距抽样.即时训练1-1:(1)下列抽样中不是系统抽样的是()(A)从标有1～15的15个球中,任选3个做样本,按从小号到大号的顺序排列,随机选起始号i0,然后选i0+5,i0+10(超过15,则再从1数起)号(B)工厂生产的产品,用传送带将产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔5分钟抽一件产品进行检验(C)某一商场做调查,规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查,直到调查到事先规定的调查人数为止(D)在报告厅对参会听众进行调查,通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈(1)解析:系统抽样又叫等距抽样,A,B,D是等距抽样,故是系统抽样,C不是等距抽样,故不是系统抽样.故选C.(2)某单位的在岗职工有620人,为了调查上班时,从家到单位的路上平均所用的时间,决定抽取10%的职工调查这一情况,如何采用系统抽样抽取样本?(2)解:用系统抽样抽取样本,样本容量是620×10%=62.步骤是①编号:把这620人随机编号为1,2,3,…,620.②确定分段间隔k=62062=10,把620人按编号从小到大每10个一段,分成62段.③采用简单随机抽样的方法,从第1段10人中抽出一人,不妨设编号为l(1≤l≤10).④那么抽取的职工编号为l+10k(k=0,1,2,…,61),得到62个个体作为样本,如当l=3时的样本编号为3,13,23,…,603,613.题型二分层抽样的应用[例2](1)某校高三年级有男生500人,女生400人,为了解该年级学生的健康状况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查,这种抽样方法是()(A)简单随机抽样(B)抽签法(C)随机数表法(D)分层抽样(1)解析:题中总体由男生和女生组成,差异很明显,且500∶400=25∶20,故用分层抽样的方法进行抽样.故选D.(2)一个地区共有5个乡镇,人口3万人,其人口比例为3∶2∶5∶2∶3,从3万人中抽取一个样本容量为300的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应采取什么样的方法?并写出具体过程.(2)解:因为疾病与地理位置和水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而采用分层抽样的方法.具体过程如下:①将3万人分为5层,其中一个乡镇为一层.②按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、60人.③按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本.④将300人合到一起,即得到一个样本.方法技巧(1)当已知总体是由差异明显的几部分组成时,常采用分层抽样的方法.(2)根据个体间差异将总体分成几层,然后分层进行抽取样本,各层抽取时可采用简单随机抽样.(3)分层抽样中每个个体被抽到的机会均相等,且为nN.即时训练2-1:为了了解某市800家企业的管理情况,拟抽取40家企业作为样本进行调查.这800家企业中有外资企业160家,私营企业320家,国有企业240家,其他性质的企业80家.如何抽取较合理?解:采用分层抽样方法比较合理.抽样比例为40800=120.外资企业抽取160×120=8(家),私营企业抽取320×120=16(家),国有企业抽取240×120=12(家),其他性质的企业抽取80×120=4(家),即在外资、私营、国有、其他性质企业中分别抽取8,16,12,4家企业,在每种企业中抽取时,可采用简单随机抽样.题型三三种抽样方法的选择[例3]为了评估某学校的教学水平,将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行考察.为全面反映实际情况,采取以下三种方式进行抽查(已知该学校高三年级共有20个教学班,并且每个班内的学生按随机方式编好了学号,假定该校每班学生人数都相同):①从全年级20个班中任意抽取一个班,再从该班任意抽取20人,考察他们的学习成绩;②每个班都抽取1人,共计20人,考察这20个学生的学习成绩;③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别,从中共抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分,该校高三学生中优秀生共150人,良好生共600人,普通生共250人).根据上面的叙述,回答下列问题:(1)上面三种抽取方式中,其总体、个体、样本分别指什么?按每一种抽取方式抽取的样本中,其样本容量分别是多少?解:(1)题中三种抽取方式中,其总体都是高三全体学生本学年的考试成绩,个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成绩.其中第①种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩,样本容量为20;第②种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩,样本容量为20;第③种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩,样本容量为100.(2)上面三种抽取方式中,各自采用何种抽样方法?解:(2)上面三种抽取方式中,分别采用的是简单随机抽样法、系统抽样法和简单随机抽样法、分层抽样法和简单随机抽样法.(3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.解:(3)第①种方式抽样的步骤如下:第一步:在这20个班中用抽签法任意抽取一个班;第二步:从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取20名学生,考察其考试成绩.第②种方式抽样的步骤如下:第一步:在第一个班中,用简单随机抽样法任意抽取某一学生,记其学号为a;第二步:在其余的19个班中,选取学号为a的学生,共计20人.第③种方式抽样的步骤如下:第一步:分层.由于按成绩分,其中优秀生共150人,良好生共600人,普通生共250人,故在抽取样本时,应把全体学生分成三层;第二步:确定各层抽取的人数.由于样本容量与总体的个体数的比为100∶1000=1∶10,故在每层抽取的个体数依次为15010,60010,25010,即15,60,25;第三步:按层分别抽取.用简单随机抽样法分别在优秀生、良好生、普通生中抽取15人、60人、25人.方法技巧选择抽样方法的规律(1)当总体容量较小,样本容量也较小时,制签简单,号签容易搅匀,可采用抽签法.(2)当总体容量较大,样本容量较小时,可采用随机数法.(3)当总体容量较大,样本容量也较大时,可采用系统抽样法.(4)当总体是由差异明显的几部分组成时,可采用分层抽样法.即时训练3-1:某单位有2000名职工,老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中,如表所示(单位:人):部门年龄管理技术开发营销生产共计老年40404080200中年80120160240600青年401602807201200小计16032048010402000(1)若要抽取40人调查身体状况,则应怎样抽样?解:(1)用分层抽样,因为老年有200人,中年有600人,青年有1200人,对应比例为1∶3∶6,则抽取40人,老年为40×1136=4(人),中年为40×3136=12(人),青年为40×6136=24(人).(2)若要开一个25人的讨论单位发展和薪金调整方面的座谈会,则应怎样抽选出席人?解:(2)用分层抽样,因为管理部门有160人,技术开发部门有320人,营销部门有480人,生产部门有1040人,对应比例为2∶4∶6∶13,对应各部门抽取人数:管理部门:224613×25=2(人),技术开发部门:424613×25=4(人),营销部门:624613×25=6(人),生产部门:1324613×25=13(人).(3)若要抽取20人调查对广州亚运会举办情况的了解,则应怎样抽样?解:(3)用系统抽样对全部2000人随机编号,号码从1～2000,每100号分为一组,从第一组中用随机抽样法抽取一个号码,然后将这个号码分别加100,200,…,1900,各号码对应的20人组成一个样本.[备用例题]某企业共有800人,其中管理人员40人,技术人员120人,一线工人640人,现要调查全厂人员的①身高与血型情况;②家庭人均生活费用情况.试用恰当的抽样方法分别抽取一个容量为40的样本,并简要说明操作过程.解:①身高与血型情况采用系统抽样法.将全厂人员随机地按1到800编号,再按编号顺序分成40组,每组20人,先在第1组