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第二章函数§2对函数的进一步认识2．3映射自主学习梳理知识1课前基础梳理|学习目标|了解映射的概念，注意函数与映射的联系和差异.1．两个集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的________元素x，B中总有______的一个元素y与它对应，就称这种对应为A到B的映射，记作____________．A中的元素x称为______，B中的对应元素y称为x的___，记作f：x→y.每一个唯一f：A→B原像像练一练：已知映射f：A→B，对任意x∈A，则B中与x对应的元素有()A．0个B．1个C．2个D．无数个答案：B2．一一映射(1)A中每一个元素在B中都有唯一的___与之对应．(2)A中的不同元素的像________．(3)B中的每一个元素都有______．集合A、B之间的一一映射也叫作__________．3．函数是一种特殊的映射，是从__________到__________的映射．函数概念可叙述为：设A、B是两个非空数集，f是A到B的一个映射，那么映射f：A→B就叫作A到B的函数．____________称为定义域，__________称为值域．像也不同原像一一对应非空数集非空数集原像的集合像的集合怎样理解映射的概念？答：(1)映射定义中的两个集合A、B是非空的，可以是数集、点集或其他集合．(2)从A到B的映射与从B到A的映射一般是不同的映射．(3)从A到B的映射，A中每一个元素在B中必须有像，但B中某些元素可能无原像．(4)映射可以是“一对一”或“多对一”的形式，但不能是“一对多”．典例精析规律总结2课堂互动探究下面的对应哪些是从集合M到集合N的映射？哪些是函数？(1)设M＝R，N＝R，对应关系f：y＝1x，x∈M；(2)设M＝{平面上的点}，N＝{(x，y)|x，y∈R}，对应关系f：M中的元素对应它在平面上的坐标；(3)设M＝{高一年级全体同学}，N＝{0，1}，对应关系f：M中的男生对应1，女生对应0；(4)设M＝R，N＝R，对应关系f(x)＝2x2＋1，x∈M；(5)设M＝{1，4，9}，N＝{－1，1，－2，2，－3，3}，对应关系：M中的元素开平方．【解】(1)M中的0在N中没有元素与之对应，从M到N的对应构不成映射．(2)(3)都符合映射定义，能构成从M到N的映射，但由于M不是非空数集，因此构不成函数．(4)从M到N的对应既能构成映射，又能构成函数．(5)M中的元素在N中有两个元素与之对应，所以构不成映射．【方法总结】判断是否是映射，要看对应关系是否为“一对一”，或“多对一”，而不能“一对多”．映射若构成函数，必须为非空数集．下列对应是不是从A到B的函数？是不是从A到B的映射？(1)A＝B＝N＋，f：x→|x－3|；(2)A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是圆}，f：三角形的内切圆；(3)A＝R，B＝{1}，f：x→y＝1；(4)A＝[－1，1]，B＝[－1，1]，f：x→y＝1x.解：(1)取x＝3∈A，则|x－3|＝0∉B，即A中的元素3在B中没有像，所以(1)不是函数，也不是映射．(2)由于A、B不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A到B的映射．(3)A中的每一个数都与B中的数1对应，因此，(3)是A到B的函数，也是A到B的映射．(4)取x＝0，y＝10没有意义，即：A中元素0在B中没有像，所以(4)不是函数，也不是映射.已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素2的像和B中元素32，54的原像．【解】把x＝2代入对应关系，得其像为(2＋1，3)．由x＋1＝32，x2＋1＝54，得x＝12.所以2的像为(2＋1，3)，32，54的原像为12.【方法总结】关键是分清像与原像，以及像与原像间的对应关系，通过方程或方程组求解．设集合A和B都是坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B把集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在映射f下，像(2，1)的原像是()A．(3，1)B．32，12C．32，－12D．(1，3)解析：由映射的定义结合题意可得x＋y＝2，x－y＝1，解得x＝32，y＝12，故像(2，1)的原像是32，12.答案：B设集合A＝{a，b，c}，B＝{m，n}，从A到B的映射共有几个？将它们分别表示出来．【解】从A到B的映射共8个．【方法总结】在求从A到B的映射，确定A中每个元素的像时，要按照一定的顺序，防止重复或遗漏．B中的某些元素可以无A中的元素与之对应．集合A＝{a，b}，B＝{m，n}，从A到B可以建立多少种不同的映射？其中集合B中每一个元素都有原像的映射有多少个？解：由映射定义，列举出所有对应图．从图中可以看出从A到B可以建立4种不同的映射，如图所示，其中集合B中每一个元素都有原像的映射有2个．设集合A＝{1，2，3，k}，B＝{4，7，a4，a2＋3a}，其中a，k∈N，映射f：A→B使B中的元素y＝3x＋1与A中的元素x对应，求a及k的值．【错解】∵B中的元素y＝3x＋1与A中的元素x对应，∴A中元素1，2分别对应B中元素4，7.∴a4＝3×3＋1，a2＋3a＝3k＋1，又∵a，k∈N，∴a与k不存在，此题无解．【错因分析】未正确理解映射的概念及集合中元素的无序性．【正解】∵B中的元素y＝3x＋1与A中的元素x对应，∴A中的元素1，2，3分别对应B中的元素4，7，10.∴a4＝10，3k＋1＝a2＋3a或a4＝3k＋1，a2＋3a＝10.又∵a，k∈N，∴a＝2，k＝5.即学即练稳操胜券3基础知识达标1．若f：A→B能构成映射，下列说法正确的有()(1)A中的任一元素在B中必须有像且唯一；(2)A中的多个元素可以在B中有相同的像；(3)B中的多个元素可以在A中有相同的原像；(4)像的集合就是集合B．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：(1)正确；(2)正确；不能出现一对多，(3)不正确；集合B中的元素可以无原像，(4)不正确．答案：B2．下列各组中，集合P与M能建立一一映射的是()A．P＝{0}，M＝∅B．P＝{1，2，3，4}，M＝{2，4，6，8}C．P＝{有理数}，M＝{有序实数对}D．P＝{平面上的点}，M＝{有序实数对}答案：B3．在映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，且f：(x，y)→(x－y，x＋y)，则与A中的元素(－1，2)对应的B中的元素为()A．(－3，1)B．(1，3)C．(－1，－3)D．(3，1)解析：由映射的对应法则f：(x，y)→(x－y，x＋y)，故A中元素(－1，2)在B中对应的元素为(－1－2，－1＋2)，即(－3，1)．答案：A4．根据下列所给的对应法则，回答问题：①A＝N＋，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B；②A＝{x|x为高一(2)班的同学}，B＝{x|x为身高}，f：每个同学对应自己的身高；③A＝R，B＝R，f：x→y＝1x＋|x|，x∈A，y∈B．上述三个对应法则中，是映射的是________，是函数的是________．答案：①②①5．判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？(1)A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6，7，8，9}，对应关系ƒ：x→2x＋1；(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系是“作圆的内接矩形”；(3)A＝{1，2，3，4}，B＝1，12，13，14，对应关系ƒ：x→1x.解：(1)是映射也是函数，但不是一一映射．因为数集A中的元素x按照对应关系ƒ：x→2x＋1和数集B中的元素2x＋1对应，这个对应是数集A到数集B的映射，也是函数，但B中的元素4，6，8没有原像，不能构成一一映射．(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射，因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应．(3)由对应关系ƒ：x→1x知，集合A＝{1，2，3，4}在B＝1，12，13，14都有唯一的像，所以是从A到B的映射，而且是一一映射，也是函数．