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第二章统计章末复习课体系构建题型探究抽样方法及应用【例1】(1)利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为()A.14B.13C.514D.1027(2)假设要检查某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表法抽取样本时，先将500袋牛奶按000,001，…，499进行编号，使用随机数表中各个5位数组的后3位，选定第7行第5组数开始，取出047作为抽取的代号(从左向右读取数字)，随后抽到的5袋牛奶的号码分别是(下面摘取了某随机数表第7行至第9行)________．844217533157245506887704744767217633502583921206766301647859169555671998105071851286735807443952387933211(1)C(2)025,016,105,185,395[(1)根据题意，9n－1＝13，解得n＝28.故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为1028＝514.(2)由已知读取号码的初始值为第7行第5组数中的后3位，第一个号码为047.凡不在000～499中的数跳过去不取，前面已经取过的也跳过去不取，从而随后抽到的5袋牛奶的编号为025,016,105,185,395.]随机抽样有简单随机抽样和分层抽样两种.其共同点是在抽样过程中每个个体被抽到的机会相等，当总体中的个体数较少时，常采用简单随机抽样；当已知总体由差异明显的几部分组成时，常采用分层抽样.其中简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法.分层抽样时都要用到简单随机抽样.应用各种抽样方法抽样时要注意以下问题：1利用抽签法时要注意把号签放在不透明的容器中且搅拌均匀；2利用随机数表法时注意编号位数要一致；3在分层抽样中，若在某一层抽到的个体数不是整数，应在该层剔除部分个体，使抽取个体数为整数.1．某品牌白酒公司在甲、乙、丙三个地区分别有30个、120个、180个代理商．公司为了调查白酒销售的情况，需从这330个代理商中抽取一个容量为11的样本，记这项调查为①；在甲地区有10个特大型超市代理销售该品牌的白酒，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是________．分层抽样，简单随机抽样[由于甲、乙、丙三个地区有明显差异，所以在完成①时，需用分层抽样．在甲地区有10个特大型超市代理销售该品牌的白酒，没有显著差异，所以完成②宜采用简单随机抽样．]用样本的频率分布估计总体分布【例2】如下表所示给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料．(单位：cm)(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计身高低于134cm的人数占总人数的百分比．[思路探究](1)根据频数计算出频率．分“分组”“频数”“频率”三列，列出频率分布表．(2)根据频率分布表画出频率分布直方图．(3)根据频率分布表计算出身高低于134cm的频率．[解](1)样本的频率分布表：分组频数频率[122,126)50.04[126,130)80.07[130,134)100.08[134,138)220.18[138,142)330.28[142,146)200.17[146,150)110.09[150,154)60.05[154,158]50.04合计1201.00(2)画出频率分布直方图，如下图所示：(3)因为样本中身高低于134cm的人数的频率为5＋8＋10120＝23120≈0.19，所以估计身高低于134cm的人数约占总人数的19%.总体分布中相应的统计图表主要包括：频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图等.通过这些统计图表给出的相应统计信息可以估计总体.2．为了了解某校高一学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高一学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为()A．64B．54C．48D．27B[[4.7,4.8)之间频率为0.32，[4.6,4.7)之间频率为1－(0.62＋0.05＋0.11)＝1－0.78＝0.22，∴a＝(0.22＋0.32)×100＝54.]用样本的数字特征估计总体的数字特征【例3】我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．[解](1)由频率分布直方图，可知，月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.(2)由(1)可知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.(3)设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.730.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.480.5，所以2≤x2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的，包括平均数、众数、中位数；另一类是反映样本数据的波动大小，包括样本方差及标准差.通常，在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定.3．甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：(1)求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差；(2)比较两名同学的成绩，谈谈你的看法．[解]x甲＝110(65＋70＋80＋86＋89＋95＋91＋94＋107＋113)＝89.s2甲＝110[(65－89)2＋(70－89)2＋(80－89)2＋(86－89)2＋(89－89)2＋(95－89)2＋(91－89)2＋(94－89)2＋(107－89)2＋(113－89)2]＝199.2，∴s甲≈14.1.x乙＝110(79＋86＋83＋88＋93＋99＋98＋98＋102＋114)＝94.s2乙＝110[(79－94)2＋(86－94)2＋(83－94)2＋(88－94)2＋(93－94)2＋(99－94)2＋(98－94)2＋(98－94)2＋(102－94)2＋(114－94)2]＝96.8.∴s乙≈9.8.∴x甲＜x乙且s甲＞s乙．∴乙同学的平均成绩较高且标准差较小；说明乙同学比甲同学的成绩扎实，稳定．用回归直线方程对总体进行估计【例4】下表数据是退水温度x(℃)对黄酮延长性y(%)效应的试验结果，y是以延长性计算的，且对于给定的x，y为正态变量，其方差与x无关．x(℃)300400500600700800y(%)405055606770(1)画出散点图；(2)指出x，y是否线性相关；(3)若线性相关，求y关于x的回归方程；(4)估计退水温度是1000℃时，黄酮延长性的情况．[思路探究]先画出散点图，确定y与x之间是否线性相关，再根据求回归直线方程的步骤求出回归直线方程，最后根据回归方程确定黄酮延长性的情况．[解](1)散点图如图：(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y与x线性相关．(3)列出下表并用科学计算器进行有关计算．i123456xi300400500600700800yi405055606770xiyi120002000027500360004690056000x2i90000160000250000360000490000640000于是可得因此所求的回归直线的方程为：y^＝0.05886x＋24.627.(4)将x＝1000代入回归方程得y^＝0.05886×1000＋24.627＝83.487，即退水温度是1000℃时，黄酮延长性大约是83.487%.分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘法求出回归方程.从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系.如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，直线的方程叫做回归方程.,求回归方程的步骤：1先把数据制成表，从表中计算出2计算回归系数3写出回归方程4．有人收集了2016年春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表：平均气温(℃)－2－3－5－6销售额(万元)20232730根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间的线性回归方程y^＝bx＋a的系数b^＝－2.4，则预测平均气温为－8℃时该商品的销售额为()A．34.6万元B．35.6万元C．36.6万元D．37.6万元A[x＝－2＋－3＋－5＋－64＝－4，y＝20＋23＋27＋304＝25，所以25＝(－2.4)×(－4)＋a.所以a^＝15.4.所以回归直线方程为y^＝－2.4x＋15.4.当x＝－8时，y＝34.6，即预测平均气温为－8℃时，该商品的销售额为34.6万元．故选A.]